חידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים)

[יוסף בן שמעון]

@nigun @שואף אחרי כל ההסברים וההוכחות והסימולטרים הלב ממאן לקבל את זה, אבל צריך לזכור שססטיסטיקה זה חוק טבע בדיוק כמו הגרביטציה, אין כאן היגיון אמיתי
מישהו חכם אמר פעם, אם אני זורק קוביה והיא נופלת על הספרה 5, בפעם השניה כבר יש פחות סיכויים שזה יפול על אותו מספר, ובכל זאת נפל שוב על ספרה 5, אחרי הפעם השלישית זה כבר הופך להיות כמעט בלתי אפשרי, אחרי חמש פעמים כל מהמר ישים את כל הקופה שזה כבר לא יפול על אותה ספרה.
נשאלת השאלה, ומה יקרה אם אני אגיד לקוביה "אוקי, בואי נאפס את המשחק ונתחיל מהתחלה"? האם הסיכויים יחזרו להיות כמו הפעם הראשונה? מה בעצם ההבדל בין הפעם הראשונה לפעם העשירית?
אז זהו, שאי אפשר לחפש מה ההגיון שעומד מאחורי החוקיות המוזרה הזו שנקראת מדעי הססטיסטיקה...

[חינמי]

טוב, אז הסימולציה עולה - אבל בגרסת אלפא... אני מקווה שיבינו משהו... זה זקוק להרבה ליטוש.
כתבתי את זה בלחץ זמן, ואני סה"כ פייתוניסט חובב...
The monty hall problem_V0.0.1.py

[yossiz]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

הלב ממאן לקבל את זה,

נראה לי שהפתרון הוא לטפל בלב... ההגיון בולט ואם הלב לא רוצה לקבל צריך לפשט את העקמימות...

אבל צריך לזכור שססטיסטיקה זה חוק טבע בדיוק כמו הגרביטציה

אפשר לחלוק על הדמיון אבל אני לא רוצה ליכנס לחלק הפילוסופי

מישהו חכם אמר פעם, אם אני זורק קוביה והיא נופלת על הספרה 5, בפעם השניה כבר יש פחות סיכויים שזה יפול על אותו מספר, ובכל זאת נפל שוב על ספרה 5, אחרי הפעם השלישית זה כבר הופך להיות כמעט בלתי אפשרי, אחרי חמש פעמים כל מהמר ישים את כל הקופה שזה כבר לא יפול על אותה ספרה.

דיבורים אלו אין להם שחר... סליחה על הביטוי. זה דומה למה ש@OdedDvir כתב, אבל זה לא נכון, הזריקות הקודמות של הקוביה אין להם שום השלכה על הבאים אחריהם. זה א' ב' של הסתברויות.

ובודאי שאין להסיק מזה שאין הגיון בסטטיסטיקה.

(סליחה אם יצאתי קצת תקיף זה רק בגלל שבד"כ אתם כותבים לענין אבל כאן לא יכולתי להסכים בשום פנים)

[dovid]

@yossiz הבעיה שרק תקפת ולא יישבת שוב דבר.
אני לא מבין כלום בהסתברות, ומסכים עם כל מילה של @יוסף-בן-שמעון.
אז תהיה תקיף גם עלי (כי בד"כ אני כותב לעניין) אבל מה יוצא לך בלהיות תקיף? לא יותר נחמד להסביר לי איפה הטעות וליישב את הדברים על הלב?
(את החידה שהבאת שמעתי לפני כמה שנים והיא בזמנו הוציאה אותי מדעתי. לבסוף עברתי נושא והעקימות בלב כנראה נשארה...).

[OdedDvir]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

דיבורים אלו אין להם שחר... סליחה על הביטוי. זה דומה למה ש@OdedDvir כתב, אבל זה לא נכון, הזריקות הקודמות של הקוביה אין להם שום השלכה על הבאים אחריהם. זה א' ב' של הסתברויות.

בזכותך עיינתי שוב בנושא וראיתי שאכן טעיתי... תמיד הסיכוי לקבל 6 הוא 1/6 יש כאן הוכחה לכך (בעמוד 7). אבל מי אמר שמתמטיקה צריכה להיות תמיד אינטואיטיבית ולהתיישב על הלב?
בכל מקרה שמחתי לראות כאן דיון מעניין וחי...

[yossiz]

@dovid תמקד אותי מה צריך הסבר.
זה פשוט וברור לכל מבין שהזריקות הקודמות של הקוביה לא משפיעים על הזריקות הבאות אחריהם. צריך להתווכח על זה?
ואם כן אין להסיק מזה שאין הגיון בסטטיסטיקה.
ולעצם החידה, הסברתי וחזרתי והסברתי ושוב הסברתי עוד הפעם. אצלי זה מתיישב לגמרי על הלב ואני לא רואה שום צורך להגיע לפילוסופיה כדי להסביר את הדברים. לו נניח שיש הגיון בסטטיסטיקה לא מכאן תבוא הפירכא.

[yossiz]

@OdedDvir אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל מי אמר שמתמטיקה צריכה להיות תמיד אינטואיטיבית ולהתיישב על הלב

אני מבחין בין אינטואיטיביות להתיישבות על הלב.
הפתרון לא אינטואיטיבי, כלומר שאנשים בד"כ לא מגיעים להגיע לפתרון על ידי אינטואיציה, אבל בכל זאת אחרי שמיעת הפתרון והפיכת הדבר לכל צדדיו זה מתיישב לגמרי על הלב.
אני עדיין אוחז שמי שזה לא מתיישב על ליבו צריך לטפל בלב שלו ולא לחפש תירוצים שונים איך ייתכן שזה נכון ובכל זאת לא הגיוני.

[yossiz]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

זה פשוט וברור לכל מבין שהזריקות הקודמות של הקוביה לא משפיעים על הזריקות הבאות אחריהם. צריך להתווכח על זה?

אני אסביר יותר.
זה ידוע לכל שהסיכוי לקבל 6 שתי פעמים ברציפות הוא 1/36. אז למה בכל זאת אני אומר שאחרי שהזריקה הראשונה יצאה 6 אז הסיכויים לקבל 6 בזריקה השנייה הם 1/6?
התירוץ פשוט, כי בהתחלה היתה הסתברות של 1/6 לקבל 6 בזריקה הראשונה, ואם כן לקבל 6 שוב פעם בשנייה יוצא 1/6 * 1/6 = 1/36.
אבל אחרי הזריקה הראשונה הרי למרות אי ההסתברות שזה יצא 6, אבל הרי זה כבר יצא 6. ואם כן מה שהיה היה ולא מסתכלים רק קדימה, מה ההסתברות לקבל 6 בזריקה השנייה.

[chagold]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@גמליאל התשובה הנכונה היא לא אינטואיטיבית והרבה אנשים מתקשים לקבל אותה, אז אתה לא היחיד...

יש כמה דרכים נפוצות להגיע להבנת התוצאה (כל הדרכים הולכים אל הים, יש רק הסבר אחד אבל כמה דרכים לפתוח את שער ההבנה).

אחת מהדרכים היא על ידי חישוב פשוט:
כאשר האסיר בחר בדלת כלשהו, הרי קיימות שלוש אופציות בדרגות הסתברות זהים. או שהוא בחר בדלת הנכון, או שהשני נכון, או שהשלישי נכון. עכשיו נעשה חישוב קל. אם הדלת שהוא בחר בו הוא הנכון, הרי שעליו להישאר עם בחירתו, אם אחת משתי הדלתות האחרות נכונות עליו לשנות את בחירתו, הרי לפניך שיש הסתברות של 2/3 שהוא ינצח אם הוא ישנה את הבחירה שלו.

יש 2 נושאים, נושא ראשון ההתנתקות מהבחירה הקודמת והשני זה הבחירה בדלת הנכונה. אז נכון שאם השאלה היא האם הוא צריך 'לעשות חישוב מסלול מחדש' אז יש יותר סיכויים שהוא יצליח באמצעות בחירה מחודשת כיון שהבחירה הישנה היתה של 33% והחדשה של 50:50, אבל כלפי הבחירה אין סיבה לומר שהוא צריך לבחור מחדש בדלת שונה יותר ממה שעשה.

דרך נוספת:
נדמיין לעצמנו שהסוהר הביא אופציה לבחור או בדלת א' או בדלתות ב' יחד (כלומר שאם אחת משתיהם מוביל לחירות הרי אתה בן חורין). הרי ברור שיותר מסתבר שהדלת שמוביל לחירות נמצא בקבוצה הגדולה יותר של ב' וג' מאשר ההסתברות שא' היא הדלת הנכונה. לכשתמצא לומר, זה מה שקורה פה. כי הרי אם אך נניח שהדלת הנכונה היא אחת משתי הדלתות שעליהם הוא לא הצביע מתחילה, הרי מעתה ברור לנו איזה מהם היא הנכונה מכיון שהשניה נפתחה וראינו מאחוריה קיר.

מתוך 2 הדלתות שלא נבחרו אכן אנו יודעים שאחת יש מאחוריה קיר, אבל מתוך ה-2 הלא ידועות זה 50-50.

דרך נוספת:
נדמיין סיפור שבו יש 100 דלתות, האסיר בחר באחת מתוכם, ואז הסוהר פתח 98 מה-99 הנותרות. מה ההסתברות ששינוי הבחירה לדלת האחרת תוביל לחירות?

כנ"ל יש הבדל בין שינוי הבחירה לבחירה חדשה שהיא 50:50,

[dovid]

@yossiz
בתחילה אני לא התייחסתי לחידה ולא קראתי את כל שנאמר עליה, רק זכרתי שממש לא האמנתי לפתרון עד שכתבתי קוד והקוד בזמנו שיגע אותי בתוצאותיו. כעת קראתי את ההסברים שלך וזה מאוד פשוט ואפילו אינטואיטיבי (למפרע..)

אבל ההתייחסות שלי הייתה למשפט שסטטיסטיקה זה נגד ההיגיון. אני ממש מרגיש תמיד ככה, והדוגמה של הקוביות מצויינת. אני מנתח מה שאמרת: הפעם הראשונה זה 1/6 וכן הפעם השניה זה מוסכם על כולנו כנראה, ואכן צירוף השניים אכן יוצא 1/36. גם זה מוסכם ויושב טוב על הלב....

אבל יש פה סתירה: אם אני שואל את עצמי מה יהיו הסיכויים לשניהם, זה אכן 1/36 אבל אם כל מה שאני צריך זה את סיכויי השניה (לא אכפת לי הערך שייצא בראשונה) כלומר אם אני שואל אחרי הטלת האחת מה סכויי השניה לנחש את ההטלה הראשונה, תמיד יש סיכוי 1/6 שתצא אותה תוצאה בהטלה הבאה... איך אני מישב את זה?

לגבי התחושה הזו היא ישנה אצלי כך שייתכן שאני מתעקש להעמיד מחשבות ישנות ואני מתעצל לחשוב מאפס. אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום (לא בגלל הטיווח, אלא בגלל אקראיות הירי הפרימטיבי ותנאי הפיזיקה הכוללים שמשתנים). אם נחק את השטח ונראה שיש למשל מאה אלף מקומות ליפול, האם הסיכוי שייפול עליהם הוא 100 אלף או 100 אלף *100 אלף? הנה לך הזדמנות להסביר לי כי על זה אני מתבסס שסטטיסטיקה נוגדת את הלב.

[yossiz]

@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

איך אני מישב את זה?

אני לא רואה פה כל קושיה.

אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום

סביר להניח שחיילים אלו לא היו מלומדים. בזמן סכנה אדם נוטה לתפוס בקשים ואמונות תפלות. לדעתי אין שום הגיון בזה.

[nigun]

@yossiz
למעשה מה יצא?
שיש יותר הסתברות שאם יבחר בדלת השניה
אז אם נחזור על כל הסיפור 100 פעמים אז ב2/3 מהמקרים הוא יצליח.
אבל אם שואלים מה הוא אמור לבחור בשעת מעשה?
זה באמת לא משנה וזה כמו לעבור לשוחה שכבר הופצצה.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל אם שואלים מה הוא אמור לבחור בשעת מעשה?
זה באמת לא משנה וזה כמו לעבור לשוחה שכבר הופצצה.

לא ולא. הוא אמור לשנות את הבחירה שלו (אם הוא רוצה לעשות מה שעל פי סטטיסטיקה יש יותר סיכויים שיצליח).
לא הבנתי/הסכמתי לטענה שלך שאתה טוען לאורך כל האשכול.

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום

סביר להניח שחיילים אלו לא היו מלומדים. בזמן סכנה אדם נוטה לתפוס בקשים ואמונות תפלות. לדעתי אין שום הגיון בזה.

זה רק בהנחה שההפגזות רנדומליות לחלוטין, ומכיוון שזה לא ממש כך, לא בטוח שאין בזה הגיון.

[yossiz]

@חינמי עברתי על הקוד שלך, יפה מאוד.
רק לא הבנתי בשורה 26 למה:

user_choice_1 = random.choice([user_choice, change_choice])

ולא:

user_choice_1 = user_choice

האם user_choice_1 לא אמור להכיל את התוצאה של מקרה שהוא דבק בבחירה הקודמת?

(אפשר לשפר את הפלט על ידי הצגת האחוזים של הצלחה במקום מספרים אבסלוטיים)

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

לא ולא. הוא אמור לשנות את הבחירה שלו (אם הוא רוצה לעשות מה שעל פי סטטיסטיקה יש יותר סיכויים שיצליח).

בא נשאל אחרת
אם הטלתי קוביה פעם אחת ויצא לי שש
ואני רוצה לנחש מה יצא לי בפעם הבאה.
אם אני מנחש שיצא לי 6
ע"פ הסטיסטיקה הסיכוי לצאת צודק הוא 1/36?
זה נכון לניחוש של פעמיים שש
אבל אחרי שכבר יצא לי 6 בפעם הראשונה
הסיכוי כרגע הוא 1/6.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אם אני מנחש שיצא לי 6
ע"פ הסטיסטיקה הסיכוי לצאת צודק הוא 1/36?

לא. זה 1/6.
אתה אומר את זה בעצמך:

אבל אחרי שכבר יצא לי 6 בפעם הראשונה

הסיכוי כרגע הוא 1/6.

[nigun]

@yossiz
הסיכוי שיצא פעמיים שש הוא 1/36
אבל זה לא רלוונטי כרגע
כי יצא כבר פעם אחת שש.
אז למה בבעיית מונטי הול זה שונה?

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@חינמי עברתי על הקוד שלך, יפה מאוד.
רק לא הבנתי בשורה 26 למה:

user_choice_1 = random.choice([user_choice, change_choice])

ולא:

user_choice_1 = user_choice

כי זה מה שכתוב בחידה:
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

ז.א. שיש לך צ'אנס של חמישים אחוז לנצח במשחק

במידה ותבחר ע"פ תחושת הבטן, ותחושת הבטן יכולה להורות לו גם להחליף את הבחירה!

קבלו גרסה מעודכנת ומשופרת:
The monty hall problem_V0.1.0.py

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

(אפשר לשפר את הפלט על ידי הצגת האחוזים של הצלחה במקום מספרים אבסלוטיים)

זה קיים בגרסה החדשה