חידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים)

[dovid]

@yossiz
בתחילה אני לא התייחסתי לחידה ולא קראתי את כל שנאמר עליה, רק זכרתי שממש לא האמנתי לפתרון עד שכתבתי קוד והקוד בזמנו שיגע אותי בתוצאותיו. כעת קראתי את ההסברים שלך וזה מאוד פשוט ואפילו אינטואיטיבי (למפרע..)

אבל ההתייחסות שלי הייתה למשפט שסטטיסטיקה זה נגד ההיגיון. אני ממש מרגיש תמיד ככה, והדוגמה של הקוביות מצויינת. אני מנתח מה שאמרת: הפעם הראשונה זה 1/6 וכן הפעם השניה זה מוסכם על כולנו כנראה, ואכן צירוף השניים אכן יוצא 1/36. גם זה מוסכם ויושב טוב על הלב....

אבל יש פה סתירה: אם אני שואל את עצמי מה יהיו הסיכויים לשניהם, זה אכן 1/36 אבל אם כל מה שאני צריך זה את סיכויי השניה (לא אכפת לי הערך שייצא בראשונה) כלומר אם אני שואל אחרי הטלת האחת מה סכויי השניה לנחש את ההטלה הראשונה, תמיד יש סיכוי 1/6 שתצא אותה תוצאה בהטלה הבאה... איך אני מישב את זה?

לגבי התחושה הזו היא ישנה אצלי כך שייתכן שאני מתעקש להעמיד מחשבות ישנות ואני מתעצל לחשוב מאפס. אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום (לא בגלל הטיווח, אלא בגלל אקראיות הירי הפרימטיבי ותנאי הפיזיקה הכוללים שמשתנים). אם נחק את השטח ונראה שיש למשל מאה אלף מקומות ליפול, האם הסיכוי שייפול עליהם הוא 100 אלף או 100 אלף *100 אלף? הנה לך הזדמנות להסביר לי כי על זה אני מתבסס שסטטיסטיקה נוגדת את הלב.

[yossiz]

@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

איך אני מישב את זה?

אני לא רואה פה כל קושיה.

אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום

סביר להניח שחיילים אלו לא היו מלומדים. בזמן סכנה אדם נוטה לתפוס בקשים ואמונות תפלות. לדעתי אין שום הגיון בזה.

[nigun]

@yossiz
למעשה מה יצא?
שיש יותר הסתברות שאם יבחר בדלת השניה
אז אם נחזור על כל הסיפור 100 פעמים אז ב2/3 מהמקרים הוא יצליח.
אבל אם שואלים מה הוא אמור לבחור בשעת מעשה?
זה באמת לא משנה וזה כמו לעבור לשוחה שכבר הופצצה.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל אם שואלים מה הוא אמור לבחור בשעת מעשה?
זה באמת לא משנה וזה כמו לעבור לשוחה שכבר הופצצה.

לא ולא. הוא אמור לשנות את הבחירה שלו (אם הוא רוצה לעשות מה שעל פי סטטיסטיקה יש יותר סיכויים שיצליח).
לא הבנתי/הסכמתי לטענה שלך שאתה טוען לאורך כל האשכול.

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום

סביר להניח שחיילים אלו לא היו מלומדים. בזמן סכנה אדם נוטה לתפוס בקשים ואמונות תפלות. לדעתי אין שום הגיון בזה.

זה רק בהנחה שההפגזות רנדומליות לחלוטין, ומכיוון שזה לא ממש כך, לא בטוח שאין בזה הגיון.

[yossiz]

@חינמי עברתי על הקוד שלך, יפה מאוד.
רק לא הבנתי בשורה 26 למה:

user_choice_1 = random.choice([user_choice, change_choice])

ולא:

user_choice_1 = user_choice

האם user_choice_1 לא אמור להכיל את התוצאה של מקרה שהוא דבק בבחירה הקודמת?

(אפשר לשפר את הפלט על ידי הצגת האחוזים של הצלחה במקום מספרים אבסלוטיים)

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

לא ולא. הוא אמור לשנות את הבחירה שלו (אם הוא רוצה לעשות מה שעל פי סטטיסטיקה יש יותר סיכויים שיצליח).

בא נשאל אחרת
אם הטלתי קוביה פעם אחת ויצא לי שש
ואני רוצה לנחש מה יצא לי בפעם הבאה.
אם אני מנחש שיצא לי 6
ע"פ הסטיסטיקה הסיכוי לצאת צודק הוא 1/36?
זה נכון לניחוש של פעמיים שש
אבל אחרי שכבר יצא לי 6 בפעם הראשונה
הסיכוי כרגע הוא 1/6.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אם אני מנחש שיצא לי 6
ע"פ הסטיסטיקה הסיכוי לצאת צודק הוא 1/36?

לא. זה 1/6.
אתה אומר את זה בעצמך:

אבל אחרי שכבר יצא לי 6 בפעם הראשונה

הסיכוי כרגע הוא 1/6.

[nigun]

@yossiz
הסיכוי שיצא פעמיים שש הוא 1/36
אבל זה לא רלוונטי כרגע
כי יצא כבר פעם אחת שש.
אז למה בבעיית מונטי הול זה שונה?

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@חינמי עברתי על הקוד שלך, יפה מאוד.
רק לא הבנתי בשורה 26 למה:

user_choice_1 = random.choice([user_choice, change_choice])

ולא:

user_choice_1 = user_choice

כי זה מה שכתוב בחידה:
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

ז.א. שיש לך צ'אנס של חמישים אחוז לנצח במשחק

במידה ותבחר ע"פ תחושת הבטן, ותחושת הבטן יכולה להורות לו גם להחליף את הבחירה!

קבלו גרסה מעודכנת ומשופרת:
The monty hall problem_V0.1.0.py

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

(אפשר לשפר את הפלט על ידי הצגת האחוזים של הצלחה במקום מספרים אבסלוטיים)

זה קיים בגרסה החדשה

[אוריאל אור]

בס"ד
שמעתי פעם שיש סיכוי גדול יותר לאדם להפגע חלילה מתאונת דרכים מאשר לזכות בגורל גדול (כמו, למשל, לוטו, פיס) שהרי הזוכה הוא אחד לכמה מליונים ואילו הנהרג מתאונת דרכים הוא (בסה"כ) אחד לכמה מאות אלפים.
אבל כמובן שזה לא נכון. כי סיכויו של האדם להנזק מתאונת דרכים תלוי בבחירתו. וככל שיזהר וישמר, אינו בכלל הסטיסטיקה כלל. ואילו סיכויו להרוויח בגורל תלוי במזלו ומהרגע שהצטרף לגורל, אין לו אפשרות לחמוק מהסטיסטיקה.
וזה בדיוק השקר שמונח ב"הסתברות".
ככל שהתשובות כאן מופיעות מתבהרת התמונה לענ"ד שהבחירה לא יכולה להיות ב"הסתברות" לבד אלא:
במצב שמדובר בהסתברות שבדוגמת גורל – הכל פתוח. (אחד חלקי שש, תמיד, גם אם תזרוק את הקוביה מליון פעם)
ובמצב הנידון כאן, הרי שמוכרחים לצרף לה את גורמי הנסיבות שמסביב. או שהכל פתוח (דהיינו 2 האפשרויות).

[yossiz]

@nigun שים לב שאין משהו מיוחד בתוצאה של 6 6 לעומת 5 2.
בשני המקרים הסבירות לנחש מראש את התוצאה הוא 1/36 והסבירות לנחש את ההטלה השנייה אחרי שהראשונה כבר קרתה הוא 1/6.

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אז למה בבעיית מונטי הול זה שונה?

אני לא רואה שום קשר.
בסיפור של הטלת קוביות, אם מישהו מנחש מראש שיצא 6 6, אז הסבירות שהוא צודק הוא 1/6 * 1/6 מכיון שכדי שהוא יצדק צריך שמקרה אחד מתוך 36 אפשרויות יקרה.
אחרי שההטלה הראשונה כבר יצאה 6 קיבלנו מידע חדש על הניחוש המקורי - התברר לנו שסיכויי הצלחתו לגבי ההטלה הראשונה עלו מ-1/6 ל-1/1 (או 100%), ואם כן אפשר כבר לזרוק לפח את כל הספיקות לגבי ההטלה הראשונה כיון שכבר התברר שהם לא יקרו. עכשיו נשארו 6 אפשרויות ולכן הסבירות שהוא יצדק עלה ל-1/6.

במונטי הול, בבחירה הראשונה היה לו סבירות של 1/3 שהוא ניחש נכון. כאשר המנחה/סוהר פותח דלת נוספת לא קיבלנו שום מידע נוסף לגבי בחירתו המקורית (זה משפט המפתח). אין לנו שום סיבה להעלות את אחוזי ההצלחה ל-50% ולכן זה באמת נשאר ב-1/3 ושינוי הבחירה יקבל סיכוי של 2/3.

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

במונטי הול, בבחירה הראשונה היה לו סבירות של 1/3 שהוא ניחש נכון. כאשר המנחה/סוהר פותח דלת נוספת לא קיבלנו שום מידע נוסף לגבי בחירתו המקורית (זה משפט המפתח). אין לנו שום סיבה להעלות את אחוזי ההצלחה ל-50% ולכן זה באמת נשאר ב-1/3 ושינוי הבחירה יקבל סיכוי של 2/3.

אמנם לא קיבלנו מידע לגבי הבחירה המקורית
אבל ירד הסיכויים לטעות
(זה שבשלב הקודם היה יותר סיכוי לטעות, לא רלוונטי
זה כמו הטלת הקוביה הקודמת)

[dovid]

נראה לי שכל אחד מאיתנו לא מנסה בכל כוחו להבין את השני ואת טיעוניו אלא להוכיח שבצד השני יש אי היגיון.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל ירד הסיכויים לטעות

למה? הרי מה שהוא לא יבחר יוכל המנחה/סוהר לפתוח דלת. העובדה שהמנחה פתח דלת שמאחוריה עז/קיר לא מגלה לנו שום מידע חדש. אז למה השתנו הסיכויים כלל?

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל ירד הסיכויים לטעות

למה? הרי מה שהוא לא יבחר יוכל המנחה/סוהר לפתוח דלת. העובדה שהמנחה פתח דלת שמאחוריה עז/קיר לא מגלה לנו שום מידע חדש. אז למה השתנו הסיכויים כלל?

המנחה הוריד דלת אחת מהמשוואה
אז הסיכוי לטעות ירד.

[yossiz]

@nigun אתה אומר את זה בצורה רובוטית. "פחות דלתות = פחות סיכויים לטעות" אבל במקרה הזה זה פשוט לא נכון.
תחשוב על זה: הרי גם לפני שהמנחה פתח דלת נוספת ידענו שקיימת דלת נוספת שמאחוריה עז. אם כן האם תטעון שגם לפני שהמנחה פתח את הדלת ירדו הסיכויים שלו לטעות?!

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

זה פשוט וברור לכל מבין שהזריקות הקודמות של הקוביה לא משפיעים על הזריקות הבאות אחריהם. צריך להתווכח על זה?

לא
אבל כשאתה אומר שהסיכויים הם 1/6, אתה בעצם אומר שמתוך שש הטלות רק פעם אחת תעלה הספרה 5, והסימולטור יוכיח http://jsfiddle.net/8wbhg5sx/
אם יש היגיון בסטטיסטיקה, היה אמור להיות צפוי מראש כמה אחוזים בדיוק יצא לכל צד בקוביה, ואילו מספרים יעלו בלוטו.

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אני עדיין אוחז שמי שזה לא מתיישב על ליבו צריך לטפל בלב שלו ולא לחפש תירוצים שונים איך ייתכן שזה נכון ובכל זאת לא הגיוני.

אני חושב שיש כאן שני דברים שונים, כל ההסברים מדוע האסיר יזכה אם הוא יחליף דלת, נכונים אחרי ההנחה שיש חוק נעלם שקובע שהדברים האקראיים יתרחשו על פי סדר מסוים, החוק הזה חסר היגיון בעצם היותו רנדומלי, אבל הוא קיים, כמו שאמרת בטוב טעם:

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

הסיכוי שלא תראה את זה בפועל ב-100 משחקים שואף לאפס.

וזה נכון, בגלל אותו חוק נעלם

לדעתי, ההסבר לבעיה של מונטי הול היא מאד פשוטה, והסיבה שבהשקפה ראשונה אנחנו מתנגדים לקבל אותה, בגלל שאנחנו לא רגילים לשייך את חוקיות הסטטיסטיקה לחיינו, וכשנתקלים בה בצורה כל כך עזה היא מעוררת התנגדות.

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אתה אומר את זה בצורה רובוטית. "פחות דלתות = פחות סיכויים לטעות" אבל במקרה הזה זה פשוט לא נכון.
תחשוב על זה: הרי גם לפני שהמנחה פתח דלת נוספת ידענו שקיימת דלת נוספת שמאחוריה עז. אם כן האם תטעון שגם לפני שהמנחה פתח את הדלת ירדו הסיכויים שלו לטעות?!

משהו כאן כנראה מתפספס לי.
אם מגיע לכאן משתתף חדש שלא יודע על ההיסטוריה
סיכוייו הם 1/2.
וזה בגלל שיש לו שתי דלתות.

גם למשתתף הראשון יש שתי דלתות, ולפני זה היה לו שלוש דלתות
לזה אני קורא שירד לו הסיכוי לטעות.