חידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים)

[יוסף בן שמעון]

@nigun אני חוזר לנקודת ההתחלה
כללי המשחק הם-השחקן בוחר דלת, המנחה פותח דלת אחרת שאין בה את האוצר.
אני מעמיד מאה שחקנים, מבקש מהם לבצע רק את השלב הראשון, כלומר לבחור דלת ולהמתין.
כמה מתוכם בחרו את הדלת הנכונה? 33 איש, 66 בחרו את הדלת הלא נכונה.
אני ממשיך לשלב הבא, ומבקש מהמנחה לפתוח דלת ש: 1 השחקן לא בחר 2 אין בה את האוצר.
כעת מול כל שחקן יש רק שתי דלתות אופציונליות, הדלת שהוא בחר, והדלת השניה שהמנחה לא פתח.
לפי החשבון, אותם 33 שבחרו את הדלת הנכונה, יפסידו אם הם יחליפו את בחירתם, אותם 66 שבחרו לא נכון, ירוויחו אם יחליפו את בחירתם.

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אתה רק מצהיר על האקסיומה הידועה של כדאיות ההליכה לפי הסתברות וטוען שהוא חסר הגיון? אם כן אני לא נכנס לנושא הפילוסופי. הבעיה של מונטי הול מקבלת את תורת ההסתברות ושואלת איך להתנהל לפיה.

אגב אני דוקא חושב שכל כללי ההנהגה התורניים של חזקות ורוב מבוססות על ההסתברות הססטיסטית, וזה לא פרה אדומה. אם יורשה לי לחלוק על ראש הישיבה שלך...

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אפשר לשאול לפי תירוץ א', אם כן, למה במקרה שהמנחה פתח את הדלת אחרי בחירת האורח אנחנו כן מחלקים את הדלתות לקבוצות של 2 ו-1. למה אנחנו מעדיפים לשים את הדלת הנשארת בקבוצה הגדולה ולא את הדלת המקורית?
(אולי בתת מודע זה מה שמפריע לך?)

אם הבנתי אותך נכון
זה אכן חלק ממה שמפריע לי
(האמת, לא הבנתי האם זה תירוץ או קושיה)
@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אני חוזר לנקודת ההתחלה
כללי המשחק הם-השחקן בוחר דלת, המנחה פותח דלת אחרת שאין בה את האוצר.
אני מעמיד מאה שחקנים, מבקש מהם לבצע רק את השלב הראשון, כלומר לבחור דלת ולהמתין.
כמה מתוכם בחרו את הדלת הנכונה? 33 איש, 66 בחרו את הדלת הלא נכונה.
אני ממשיך לשלב הבא, ומבקש מהמנחה לפתוח דלת ש: 1 השחקן לא בחר 2 אין בה את האוצר.
כעת מול כל שחקן יש רק שתי דלתות אופציונליות, הדלת שהוא בחר, והדלת השניה שהמנחה לא פתח.
לפי החשבון, אותם 33 שבחרו את הדלת הנכונה, יפסידו אם הם יחליפו את בחירתם, אותם 66 שבחרו לא נכון, ירוויחו אם יחליפו את בחירתם.

אדרבה
עכשיו אתה צריך להוציא את כל אלו שבחרו בדלת שנפתחה מהמשחק (כי הם וודאי טעו או בגלל שבמשחק שלנו הוא לא בחר בדלת הזו)
ונשאר לך 66 שהסיכוי שלהם הוא 1/2.

[יוסף בן שמעון]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

עכשיו אתה צריך להוציא את כל אלו שבחרו בדלת שנפתחה מהמשחק

לא הבנתי את המשפט, איך יתכן שהם בחרו בדלת שנפתחה, הרי כללי המשחק הם שאסור למנחה לפתוח את הדלת שנבחרה

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

המנחה פותח דלת אחרת שאין בה את האוצר

(ההדגשה במקור...)

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון
אם 99 אסירים בוחרים שלוש דלתות
מה נשאר למחנה לפתוח?

[יוסף בן שמעון]

@nigun כמובן שהוא לא יפתח את אותה הדלת בכל סיבוב, הוא ישנה את בחירתו לפי בחירת השחקן, אבל לעולם הוא יצטרך לעמוד בשני התנאים, שלא תהיה זו הדלת שהשחקן בחר, ושלא תהיה זו הדלת עם האוצר

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון
אתה מתכוון למאה משחקים נפרדים?
אני חשבתי שמאה בבת אחת.
ברור שבמצב כזה הסיכויים הם 2/3 למי שמחליף דלת
ובדיוק על זה אני מתווכח.
שלא צריך למדוד את הסיכויים לפי משחק שלם
אלא לפי הסיכויים בשלב האחרון.

[חינמי]

גרסה חדשה לסימולטור!
The monty hall problem_V0.2.0.py
עדכון: שיפור קוסמטי קטן.
The monty hall problem_V0.2.1.py

[יוסף בן שמעון]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

ובדיוק על זה אני מתווכח.

לכשמצי לומר, זו טענתי הראשונה, הקושי הרגשי לקבל את הסיפור הזה, נובע מניתוק בין חוקיות הסטטיסטיקה לחיי המעשה
אם נביא יגיד לך שמתוך מאה המשחקים 66 שיחליפו את בחירתם ירוויחו ו 33 יפסידו, לא תעדיף להחליף?

[chagold]

@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@chagold במקרה שהסוהר לא גילה לו, הוא אכן ירויח לעבור מדלת אחת לשניים אחרות, הבעיה שהוא יוכל לפתוח רק אחת מהם והוא לא יודע איזה ולכן בעצם יצא שכרו בהפסדו וזה שווה לגמרי. אן הוא יכול במקום לפתוח דלת שהוא רוצה לפתוח שניים אחרות הוא בהחלט ירויח כפול סיכויים.
הבעיה במונטי הול זה אי ההבנה הראשוני למה הגילוי של הסוהר שופך אור על שני דלתות מסויימות.

ז"א שבבחירה הראשונה הבחירה הרנדומלית היתה בעלת שליש סיכויים, והעדכון של הסוהר העביר את זה לבחירה רנדומלית של 50%.
אז אני מבין שעדכון של הבחירה שלו אם היא תהיה רנדומלית מעלה את הסיכויים לסיכויי 1/2 במקום 1/3 של התרגיל הקודם אבל זה רק עדיפות של 1/6 לתוצאה טובה יותר.
וזה ג"כ רק כאשר יהיה בחירה רנדומלית אבל לא שבמודע הוא יחליף לדלת אחרת דוקא, כי מה יוסיף כאן הדלת האחרת יותר מהדלת שיש לו.
אני טועה?

[יוסף בן שמעון]

@chagold אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אני טועה?

כן, העדיפות היא של 2/3 במקום 1/3
קרא את הניסוח הזה
https://tchumim.com/post/111212

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אם נביא יגיד לך שמתוך מאה המשחקים 66 שיחליפו את בחירתם ירוויחו ו 33 יפסידו, לא תעדיף להחליף?

רגשית אולי אני אחליף
אבל זה לא נכון סטיסטית
כי 33 מתוך המאה האלו בחרו דלת לא נכונה בפעם הראשונה (בשונה ממני)

[chagold]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אני חוזר לנקודת ההתחלה
כללי המשחק הם-השחקן בוחר דלת, המנחה פותח דלת אחרת שאין בה את האוצר.
אני מעמיד מאה שחקנים, מבקש מהם לבצע רק את השלב הראשון, כלומר לבחור דלת ולהמתין.
כמה מתוכם בחרו את הדלת הנכונה? 33 איש, 66 בחרו את הדלת הלא נכונה.
אני ממשיך לשלב הבא, ומבקש מהמנחה לפתוח דלת ש: 1 השחקן לא בחר 2 אין בה את האוצר.
כעת מול כל שחקן יש רק שתי דלתות אופציונליות, הדלת שהוא בחר, והדלת השניה שהמנחה לא פתח.
לפי החשבון, אותם 33 שבחרו את הדלת הנכונה, יפסידו אם הם יחליפו את בחירתם, אותם 66 שבחרו לא נכון, ירוויחו אם יחליפו את בחירתם.

אני מבין את הנקודה.
והיא, שהסיכוי האובייקטיבי שיצליחו אינו דומה בין שלשת הקבוצות, כי ההתערבות של המנחה אינה שוה בין כל המתמודדים.
כי אצל אלו שהצליחו בפעם הראשונה אז בחירת המנחה בדלת שאותה המנחה מסלק יכולה להיות רנדומלית. אבל אצל אלו שנכשלו, הוא חייב לבחור דלת אחת ספציפית, כי את הדלת הנכונה הוא לא יכול לסלק.

זאת אומרת שהמנחה מגלה להם שליש פתרון, התלוי בבחירתם הקודמת. כי ככל והפעם הקודמת היתה נכונה א"כ הוא לא יתערב אבל בכך שהיא לא נכונה הוא התערב.

וכאן הנקודה שעדיף להם לשנות מאשר להחליט מחדש רנדומלית כיון שרוב הסכויים שהם בקבוצה שטעתה וא"כ השינוי אצלה הוא צעד נכון יותר.

[yossiz]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

למה לפני הטלת הקוביה 6000 פעמים אני יכול לנבא שבערך אלף פעמים הקוביה תיפול על כל צד, ולגלות שצדקתי? מהו המנגנון שאחראי לבדוק כל תוצאה ולפיה להחליט מה תהיה התוצאה הבאה כדי להגיע לתוצאה הרצויה של אלף נפילות לכל צד? האם יש קשר פיזיקלי בין נפילה אחת לזו שבאה אחריה?

אה, בהתחלה לא הבנתי כוונתך, אתה שואל שאלות מצויינות (ברצינות)... אבל בעיית מונטי הול מגיעה אחרי שאנו מקבלים על עצמנו את חוקי הסטטיסטיקה. אתה כנראה טוען שהסיבה שבגללה התשובה לא אינטואיטיבית היא מכיוון שאנחנו לא באמת מבינים איך עובד סטטיסטיקה? אני לא רואה קשר, אבל לך תדע...

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אם יורשה לי לחלוק על ראש הישיבה שלך...

( )

[yossiz]

@חינמי מוזר לי שהתוכנה רצה כל כך לאט
עריכה: זה רק בווינדוס, בלינוקס זה רץ מהר, כנראה משהו שקשור למהירותה של קריאת cls לעומת clear

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@חינמי מוזר לי שהתוכנה רצה כל כך לאט
עריכה: זה רק בווינדוס, בלינוקס זה רץ מהר, כנראה משהו שקשור למהירותה של קריאת cls לעומת clear

בדקתי את זה, זה כנראה קשור לתוכנת המעטפת של הCMD/PowerShell.
ב Windows Terminal וכן דרך VS Code זה עובד הרבה יותר מהר, גם ב CMD, וגם ב PowerShell וגם ב WSL.
אתה בדקת בWSL או בלינוקס רגיל?
עריכה: באמת בלי ה CLS זה מהיר פי 10
ובCMD ו PowerShell אפילו יותר.
אתה מכיר תחליף יותר טוב לריענון המסך?

[yossiz]

@חינמי אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אתה בדקת בWSL או בלינוקס רגיל?

WSL

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אתה כנראה טוען שהסיבה שבגללה התשובה לא אינטואיטיבית היא מכיוון שאנחנו לא באמת מבינים איך עובד סטטיסטיקה? אני לא רואה קשר

אכן זו טענתי, ואסביר אותה
ברור לכולם שהבחירה הראשונה היתה בעלת סיכויים של 1/3, הקושי לקבל את הפיתרון מתעורר בשלב הבא, איך האחוזים של הבחירה הראשונה מועילים? איך בחירה תיאורטית שלא מעלה ולא מורידה יכולה להשפיע על סיכויי ההחלפה של השחקן?
אבל - אם לא היינו מדברים בשפה של אחוזים, אלא סיכויי ההסתברות היו מתורגמים אצלנו אוטומטית לחיי המעשה, 1/3 אומר ששליש מתוך כלל השחקנים בכל העולם בחרו את הדלת הנכונה, ושני שליש בחרו את הדלת הלא נכונה, ומכאן הדרך פשוטה להבין איך הבחירה הראשונה הלא נכונה משפיעה על ההמשך, כי ברור שרוב השחקנים ירוויחו אם יחליפו את הבחירה שלהם.
הבעיה לדעתי היא שדרך כלל מדברים על אחוזים בתאוריה, וקשה לשכל לקבל את זה, עד שלא פוגשים את המציאות המדהימה הזו, שהסטטיטסיקה איננה מדע תיאורטי אלא חוק טבע מוחשי.
ומנין לי כל זאת? כי לפני כמה שנים כששמעתי את החידה ואת פתרונה, לא אביתי לקבל אותה, עד שתרגמו לי את זה מאחוזים למספרים מעשיים

---

(שמעתי פעם בשם מישהו - האקראיות היא הדרך שבה אלוקים מראה לנו שהוא רוצה שנדע שיש מנהל לעולם, אבל הוא לא רוצה שנדע איך הוא מנהל את העולם. כמדומה שזה נאמר על פיזיקה קוונטית)

[yossiz]

@יוסף-בן-שמעון אני לא רוצה לקבל את דבריך אבל קצת התייעפתי מחשיבה על הנושא הזה...

איך האחוזים של הבחירה הראשונה מועילים? איך בחירה תיאורטית שלא מעלה ולא מורידה יכולה להשפיע על סיכויי ההחלפה של השחקן?

זה כן מעלה ומוריד, כי הבחירה הראשונה השפיעה על הבחירה של המארח. אם הבחירה הראשונה לא היתה צודקת, יוצא שהמארח היה מוכרח לבחור בדלת שהוא בחר ובכך הוא גילה לנו מידע חדש בלי להשפיע על אחוזי ההצלחה של הבחירה המקורית.

1/3 אומר ששליש מתוך כלל השחקנים בכל העולם בחרו את הדלת הנכונה, ושני שליש בחרו את הדלת הלא נכונה

האם אפשר לומר אותו דבר לו יצוייר שיתגלה לנו מן השמים שיש רק שחקן אחד, לפניו לא היה ואחריו לא יהיה?

[yossiz]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

כמדומה שזה נאמר על פיזיקה קוונטית

זה משהו שונה, הדברים אכן מתאימים לשם. כי התיאוריה הקוונטית אומרת שיש אלמנט של רנדומליות בעולם, שלא כמו שפילוסופים אחרים טענו שאם היה קיים חכם כשלמה היה יכול לנבא את הכל.