חידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים)

[יוסף בן שמעון]

@nigun שאלה לי אליך, תציב מאה אסירים מול שלש דלתות, בלי הסוהר שפותח דלתות, רק האסיר יכול לבחור אחת מהדלתות, כמה מתוכם יצליחו למצוא את הדלת הנכונה?

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון
1/3

[יוסף בן שמעון]

@nigun כלומר - קבוצה בת 33 אסירים, לעומתם 66 אסירים לא יזכו בחופש.
אם כך, 66 ושש אסירים לא בחרו את הדלת הנכונה! מה יותר פשוט מלהציע להם לבחור את הדלת השניה ובכך הם יזכו? רק ה 33 שבחרו את הדלת הראשונה יפסידו אם הם יחליפו דלת

[אוריי]

@yossiz
סליחה שאולי אני קצת סוטה מהנושא (אולי לא..)
אני חושב שמלכתחילה הסיכויים של האסיר הם 50:50
ולמה
כי כעת יש לי ספק על כל דלת האם היא הנכונה או לא (ואני לא מסתכל על הסיכויים מתוך 3 הדלתות)
ועל כן כל דלת היא ספק או שהיא הנכונה או שלא * 3 דלתות
ואותו הדבר הוא גם לאחר שהסוהר פתח את הדלת האחת וגילה שזה לא היא הספק לא השתנה הוא נשאר על אותו מצב של 50:50 רק *2 דלתות
מקור

תחילתה של המחלוקת הזו מובאת באחרונים (קצות החושן ,ט"ז והרא"מ)
(בענין של ההגרלה שעשה משה רבינו לכהנים שפדו את הבכורות.)

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון
מה יקרה אם הסוהר יפתח דלת אחת
ואז יתן למאה אסירים לבחור בין שני הדלתות?

[yossiz]

@אוריי זה לא לגמרי סטייה מהנושא, אבל עדיין לא קשור לגמרי לנושא.
להבנתי (שבנושא זה מושפע מאוד מהישיבה שבו למדתי כי לראש ישיבה שם היה דעה מוצקת מאוד בנושא) הכלל של כל קבוע תקף מכיון שבדיני תורה לא הולכים לפי הסתברויות, (וכמו שציינו כמה כותבים למעלה שיש מקום לדון עד כמה ההליכה לפי הסתברויות היא הגיונית.)
בבסיס של הבעיה פה מונחת היסוד שהאסיר רוצה כן ללכת לפי הסתברויות, והשאלה היא רק מה עליו לבחור לפי תורת ההסתברויות ולכן לא תקף כאן הכלל של "כל קבוע".

[יוסף בן שמעון]

@nigun למה אתה מעמת אותי עם מקרים שלא דיברנו עליהם?
במקרה דילן הוכחנו בעליל שרוב מי שישנה את בחירתו יזכה בחירות, הלא כן?

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אשמח לשמוע את תגובתך לטענות שלי ולסימולטור, חשוב לי להבין האם אתה באמת חולק עלי או שדיברנו על שני דברים שונים

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

במקרה דילן הוכחנו בעליל שרוב מי שישנה את בחירתו יזכה בחירות, הלא כן?

הוכחנו שמי שיבחר פעמיים יגדיל את סיכוייו

[יוסף בן שמעון]

@nigun הסבר נא, איך זה נקרא בחירה פעמיים, הרי בסופו של דבר האסיר פותח רק דלת אחת?

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון
אם 100 אסירים בוחרים 3 דלתות
הסיכוי הוא 1/3
עכשיו למי אתה אומר להחליף בחירה?
אם עדיין אף אחד לא פתח הסיכוי נותר 1/3

[יוסף בן שמעון]

@nigun רגע על מה אתה מדבר, לא אמרתי להם להחליף דלתות, חיכיתי שהסוהר יפתח את הדלת השלישית ויגלה שהיא לא הדלת הנכונה, ואז נשארו רק שתי אפשרויות, ורק אז אמרתי להם להחליף דלת. ובמקרה הזה כל ה 66 שבחרו דלת לא נכונה, אם הם ישמעו לי ויחליפו דלת הם יזכו

[חינמי]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

לדעתי, ההסבר לבעיה של מונטי הול היא מאד פשוטה, והסיבה שבהשקפה ראשונה אנחנו מתנגדים לקבל אותה, בגלל שאנחנו לא רגילים לשייך את חוקיות הסטטיסטיקה לחיינו, וכשנתקלים בה בצורה כל כך עזה היא מעוררת התנגדות.

עי' מה שכתבתי פה

[יוסף בן שמעון]

@חינמי עיינתי, עדיין ליבי אומר לי שזו לא הסיבה העיקרית...

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אגב, יש באמתחתי בעיה בנושא הסתברויות שקשה פי כמה מבעיית מונטי הול. מדובר בבעיה שאין לה פתרון מקובל. אולי אני אפתח על זה נושא חדש. אבל אני חושש שהיא לא מתאימה לקווי הפורום כי לפי חלק מהפתרונות מדובר בנושא פילוסופי עמוק. (לדעתי יש פתרון פשוט ביותר בלי שום פילוסופיה ונלאיתי מהבין את הדעות האחרות.)

@dovid

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun רגע על מה אתה מדבר, לא אמרתי להם להחליף דלתות, חיכיתי שהסוהר יפתח את הדלת השלישית ויגלה שהיא לא הדלת הנכונה, ואז נשארו רק שתי אפשרויות, ורק אז אמרתי להם להחליף דלת. ובמקרה הזה כל ה 66 שבחרו דלת לא נכונה, אם הם ישמעו לי ויחליפו דלת הם יזכו

אבל למה שרק 66 יחליפו
אתה צריך לומר למאה שיחליפו (כולל אלו שהסוהר פתח את הדלת שלהם)

[yossiz]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אשמח לשמוע את תגובתך לטענות שלי ולסימולטור, חשוב לי להבין האם אתה באמת חולק עלי או שדיברנו על שני דברים שונים

קראתי את דבריך כמה פעמים, אבל לא הבנתי איך הדברים מתייחסים לדבריך הקודמים. ולעצם הדברים:

אבל כשאתה אומר שהסיכויים הם 1/6, אתה בעצם אומר שמתוך שש הטלות רק פעם אחת תעלה הספרה 5, והסימולטור יוכיח http://jsfiddle.net/8wbhg5sx/
אם יש היגיון בסטטיסטיקה, היה אמור להיות צפוי מראש כמה אחוזים בדיוק יצא לכל צד בקוביה,

לא,
א. סטטיסטיקה - כשמה כן הוא. רק הסתברות שזה מה שיקרה אבל אין הכרח שזה מה שיקרה.
ב. יתרה מזו, אפשר לומר שב-6 הטלות יהיה נדיר ביותר שיעלו כל הספרות 1-6. למה? הרי הסטטיסטיקה אומר שלכל 1 מהספרות יש סיכוי של 1/6 לעלות ואם כן האם המקרה הכי מסתבר לא אמור להיות שיעלו כל הספרות מ-1-6?
ברור שלא!
בוא נחשבן את הסיכויים:
בהטלה של קוביה 6 פעמים יש 6 ^ 6 = 46656 אפשריות, מתוכם יש רק 720 מהם (מחשבון) יהיו צירופים שכוללים בתוכם את כל הספרות מ-1-6. כלומר יש סיכוי של בערך 1/65 שכל המספרים יעלו.

ואילו מספרים יעלו בלוטו.

הלא יש סיכוי שווה לכל מספר?! האם זה היה פליטת קולמוס?

כל ההסברים מדוע האסיר יזכה אם הוא יחליף דלת, נכונים אחרי ההנחה שיש חוק נעלם שקובע שהדברים האקראיים יתרחשו על פי סדר מסוים, החוק הזה חסר היגיון בעצם היותו רנדומלי, אבל הוא קיים,

אתה רק מצהיר על האקסיומה הידועה של כדאיות ההליכה לפי הסתברות וטוען שהוא חסר הגיון? אם כן אני לא נכנס לנושא הפילוסופי. הבעיה של מונטי הול מקבלת את תורת ההסתברות ושואלת איך להתנהל לפיה.

הסיבה שבהשקפה ראשונה אנחנו מתנגדים לקבל אותה, בגלל שאנחנו לא רגילים לשייך את חוקיות הסטטיסטיקה לחיינו, וכשנתקלים בה בצורה כל כך עזה היא מעוררת התנגדות

לא הבנתי. האמת שאחרי שפתרון החידה ידועה לי כל כך בבירור קשה לי לחזור למצב שהתשובה לא אינטואיטיבית ולהבין למה באמת לא.

[yossiz]

@חינמי אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@dovid

אני אתן לך מראה מקום, אבל אני לא רוצה לפתוח על זה נושא פה.
https://www.hamichlol.org.il/בעיית_היפהפייה_הנרדמת
אני סבור כמו התשובה הזאת:
https://stats.stackexchange.com/a/169582
ואני לא מצליח להבין שיטות אחרות.
אגב, במקרה מפתיע, הכתבה בהמכלול הרבה יותר מקיף ומעמיק ממה שיש בוויקיפידיה באנגלית על הנושא.

[yossiz]

@nigun בנסיון אחרון להסביר את הדברים ---

אפשר לשאול ככה:
אם המנחה היה פותח את אחת הדלתות לפני שהאורח היה בוחר, הרי כו"ע מודו שיש סיכויי הצלחה של 50:50 בבחירת כל אחת מהדלתות הנותרות.
ויש לשאול על זה:
כל קבוצה של 3 דלתות, הרי אפשר לחלק אותם לשתי קבוצות של 2 ו-1. בחלוקה זו יש סיכויים כפולים שהדלת הנכונה היא בקבוצה הגדולה יותר. ואם כן אפשר לשאול, למה לא נחלק את כלל הדלתות לשתי קבוצות, אחת של 1 ואחת של 2, כאשר הדלת שהמנחה פתח נשבץ בקבוצה הגדולה, ואז נחשבן ככה: יש הרי סיכוי כפול שהדלת נמצא בקבוצה הגדולה, ומתוך השתיים בקבוצה הגדולה הרי אני יודע איזה מהם הנכונה כי המנחה כבר פתח את השני, אם כן נבחר בדלת הנותרת.
שאילה טובה?
לא!
אפשר ליישב את השאלה בשני אופנים.
א. למה נעדיף לשים דלת 2 בקבוצה הגדולה יותר מדלת 3, ואם כן נמצא שוב שלשתי הדלתות יש סיכויים שווים
ב. מכיון שכבר התברר שהדלת שהמנחה פתח היא לא הדלת הנכונה, השבצת הדלת בקבוצה לא מגדילה את סיכויי הקבוצה להכיל את הדלת הנכונה.

אפשר לשאול לפי תירוץ א', אם כן, למה במקרה שהמנחה פתח את הדלת אחרי בחירת האורח אנחנו כן מחלקים את הדלתות לקבוצות של 2 ו-1. למה אנחנו מעדיפים לשים את הדלת הנשארת בקבוצה הגדולה ולא את הדלת המקורית?
(אולי בתת מודע זה מה שמפריע לך?)

אם אצליח לחשוב על ניסוח מצליח להסביר את התשובה אולי זה יעזור לך להבין את הנושא. בינתיים אין לי ניסוח טוב (או יותר נכון, אין לי תשובה טובה...).

מישהו מתנדב לעזור?

[WWW]

@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל יש פה סתירה: אם אני שואל את עצמי מה יהיו הסיכויים לשניהם, זה אכן 1/36 אבל אם כל מה שאני צריך זה את סיכויי השניה (לא אכפת לי הערך שייצא בראשונה) כלומר אם אני שואל אחרי הטלת האחת מה סכויי השניה לנחש את ההטלה הראשונה, תמיד יש סיכוי 1/6 שתצא אותה תוצאה בהטלה הבאה... איך אני מישב את זה?

תירצת את זה בעצמך, זה רק בגלל שהראשון לא מעניין אותך, אבל אם מעניין אותך גם הראשון, דהיינו שייצא 6 6 ברצף, זה כבר סיכויים נמוכים יותר.

@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום

אתה מזכיר לי את ההוא שהיה חוצה כבישים עם תפו"א על הראש, כשביאר את כוונתו בזה שהרי סטטיסטית יש סיכון מאד גבוה במעבר כביש (רוב התאונות הקטלניות הן בעוברי רגל), אך הסיכויים שיקרה תאונה לאדם עם תפו"א על הראש שואפים לאפס...