חידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים)

[יוסף בן שמעון]

@nigun למה אתה מעמת אותי עם מקרים שלא דיברנו עליהם?
במקרה דילן הוכחנו בעליל שרוב מי שישנה את בחירתו יזכה בחירות, הלא כן?

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אשמח לשמוע את תגובתך לטענות שלי ולסימולטור, חשוב לי להבין האם אתה באמת חולק עלי או שדיברנו על שני דברים שונים

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

במקרה דילן הוכחנו בעליל שרוב מי שישנה את בחירתו יזכה בחירות, הלא כן?

הוכחנו שמי שיבחר פעמיים יגדיל את סיכוייו

[יוסף בן שמעון]

@nigun הסבר נא, איך זה נקרא בחירה פעמיים, הרי בסופו של דבר האסיר פותח רק דלת אחת?

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון
אם 100 אסירים בוחרים 3 דלתות
הסיכוי הוא 1/3
עכשיו למי אתה אומר להחליף בחירה?
אם עדיין אף אחד לא פתח הסיכוי נותר 1/3

[יוסף בן שמעון]

@nigun רגע על מה אתה מדבר, לא אמרתי להם להחליף דלתות, חיכיתי שהסוהר יפתח את הדלת השלישית ויגלה שהיא לא הדלת הנכונה, ואז נשארו רק שתי אפשרויות, ורק אז אמרתי להם להחליף דלת. ובמקרה הזה כל ה 66 שבחרו דלת לא נכונה, אם הם ישמעו לי ויחליפו דלת הם יזכו

[חינמי]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

לדעתי, ההסבר לבעיה של מונטי הול היא מאד פשוטה, והסיבה שבהשקפה ראשונה אנחנו מתנגדים לקבל אותה, בגלל שאנחנו לא רגילים לשייך את חוקיות הסטטיסטיקה לחיינו, וכשנתקלים בה בצורה כל כך עזה היא מעוררת התנגדות.

עי' מה שכתבתי פה

[יוסף בן שמעון]

@חינמי עיינתי, עדיין ליבי אומר לי שזו לא הסיבה העיקרית...

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אגב, יש באמתחתי בעיה בנושא הסתברויות שקשה פי כמה מבעיית מונטי הול. מדובר בבעיה שאין לה פתרון מקובל. אולי אני אפתח על זה נושא חדש. אבל אני חושש שהיא לא מתאימה לקווי הפורום כי לפי חלק מהפתרונות מדובר בנושא פילוסופי עמוק. (לדעתי יש פתרון פשוט ביותר בלי שום פילוסופיה ונלאיתי מהבין את הדעות האחרות.)

@dovid

[nigun]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun רגע על מה אתה מדבר, לא אמרתי להם להחליף דלתות, חיכיתי שהסוהר יפתח את הדלת השלישית ויגלה שהיא לא הדלת הנכונה, ואז נשארו רק שתי אפשרויות, ורק אז אמרתי להם להחליף דלת. ובמקרה הזה כל ה 66 שבחרו דלת לא נכונה, אם הם ישמעו לי ויחליפו דלת הם יזכו

אבל למה שרק 66 יחליפו
אתה צריך לומר למאה שיחליפו (כולל אלו שהסוהר פתח את הדלת שלהם)

[yossiz]

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אשמח לשמוע את תגובתך לטענות שלי ולסימולטור, חשוב לי להבין האם אתה באמת חולק עלי או שדיברנו על שני דברים שונים

קראתי את דבריך כמה פעמים, אבל לא הבנתי איך הדברים מתייחסים לדבריך הקודמים. ולעצם הדברים:

אבל כשאתה אומר שהסיכויים הם 1/6, אתה בעצם אומר שמתוך שש הטלות רק פעם אחת תעלה הספרה 5, והסימולטור יוכיח http://jsfiddle.net/8wbhg5sx/
אם יש היגיון בסטטיסטיקה, היה אמור להיות צפוי מראש כמה אחוזים בדיוק יצא לכל צד בקוביה,

לא,
א. סטטיסטיקה - כשמה כן הוא. רק הסתברות שזה מה שיקרה אבל אין הכרח שזה מה שיקרה.
ב. יתרה מזו, אפשר לומר שב-6 הטלות יהיה נדיר ביותר שיעלו כל הספרות 1-6. למה? הרי הסטטיסטיקה אומר שלכל 1 מהספרות יש סיכוי של 1/6 לעלות ואם כן האם המקרה הכי מסתבר לא אמור להיות שיעלו כל הספרות מ-1-6?
ברור שלא!
בוא נחשבן את הסיכויים:
בהטלה של קוביה 6 פעמים יש 6 ^ 6 = 46656 אפשריות, מתוכם יש רק 720 מהם (מחשבון) יהיו צירופים שכוללים בתוכם את כל הספרות מ-1-6. כלומר יש סיכוי של בערך 1/65 שכל המספרים יעלו.

ואילו מספרים יעלו בלוטו.

הלא יש סיכוי שווה לכל מספר?! האם זה היה פליטת קולמוס?

כל ההסברים מדוע האסיר יזכה אם הוא יחליף דלת, נכונים אחרי ההנחה שיש חוק נעלם שקובע שהדברים האקראיים יתרחשו על פי סדר מסוים, החוק הזה חסר היגיון בעצם היותו רנדומלי, אבל הוא קיים,

אתה רק מצהיר על האקסיומה הידועה של כדאיות ההליכה לפי הסתברות וטוען שהוא חסר הגיון? אם כן אני לא נכנס לנושא הפילוסופי. הבעיה של מונטי הול מקבלת את תורת ההסתברות ושואלת איך להתנהל לפיה.

הסיבה שבהשקפה ראשונה אנחנו מתנגדים לקבל אותה, בגלל שאנחנו לא רגילים לשייך את חוקיות הסטטיסטיקה לחיינו, וכשנתקלים בה בצורה כל כך עזה היא מעוררת התנגדות

לא הבנתי. האמת שאחרי שפתרון החידה ידועה לי כל כך בבירור קשה לי לחזור למצב שהתשובה לא אינטואיטיבית ולהבין למה באמת לא.

[yossiz]

@חינמי אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@dovid

אני אתן לך מראה מקום, אבל אני לא רוצה לפתוח על זה נושא פה.
https://www.hamichlol.org.il/בעיית_היפהפייה_הנרדמת
אני סבור כמו התשובה הזאת:
https://stats.stackexchange.com/a/169582
ואני לא מצליח להבין שיטות אחרות.
אגב, במקרה מפתיע, הכתבה בהמכלול הרבה יותר מקיף ומעמיק ממה שיש בוויקיפידיה באנגלית על הנושא.

[yossiz]

@nigun בנסיון אחרון להסביר את הדברים ---

אפשר לשאול ככה:
אם המנחה היה פותח את אחת הדלתות לפני שהאורח היה בוחר, הרי כו"ע מודו שיש סיכויי הצלחה של 50:50 בבחירת כל אחת מהדלתות הנותרות.
ויש לשאול על זה:
כל קבוצה של 3 דלתות, הרי אפשר לחלק אותם לשתי קבוצות של 2 ו-1. בחלוקה זו יש סיכויים כפולים שהדלת הנכונה היא בקבוצה הגדולה יותר. ואם כן אפשר לשאול, למה לא נחלק את כלל הדלתות לשתי קבוצות, אחת של 1 ואחת של 2, כאשר הדלת שהמנחה פתח נשבץ בקבוצה הגדולה, ואז נחשבן ככה: יש הרי סיכוי כפול שהדלת נמצא בקבוצה הגדולה, ומתוך השתיים בקבוצה הגדולה הרי אני יודע איזה מהם הנכונה כי המנחה כבר פתח את השני, אם כן נבחר בדלת הנותרת.
שאילה טובה?
לא!
אפשר ליישב את השאלה בשני אופנים.
א. למה נעדיף לשים דלת 2 בקבוצה הגדולה יותר מדלת 3, ואם כן נמצא שוב שלשתי הדלתות יש סיכויים שווים
ב. מכיון שכבר התברר שהדלת שהמנחה פתח היא לא הדלת הנכונה, השבצת הדלת בקבוצה לא מגדילה את סיכויי הקבוצה להכיל את הדלת הנכונה.

אפשר לשאול לפי תירוץ א', אם כן, למה במקרה שהמנחה פתח את הדלת אחרי בחירת האורח אנחנו כן מחלקים את הדלתות לקבוצות של 2 ו-1. למה אנחנו מעדיפים לשים את הדלת הנשארת בקבוצה הגדולה ולא את הדלת המקורית?
(אולי בתת מודע זה מה שמפריע לך?)

אם אצליח לחשוב על ניסוח מצליח להסביר את התשובה אולי זה יעזור לך להבין את הנושא. בינתיים אין לי ניסוח טוב (או יותר נכון, אין לי תשובה טובה...).

מישהו מתנדב לעזור?

[WWW]

@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל יש פה סתירה: אם אני שואל את עצמי מה יהיו הסיכויים לשניהם, זה אכן 1/36 אבל אם כל מה שאני צריך זה את סיכויי השניה (לא אכפת לי הערך שייצא בראשונה) כלומר אם אני שואל אחרי הטלת האחת מה סכויי השניה לנחש את ההטלה הראשונה, תמיד יש סיכוי 1/6 שתצא אותה תוצאה בהטלה הבאה... איך אני מישב את זה?

תירצת את זה בעצמך, זה רק בגלל שהראשון לא מעניין אותך, אבל אם מעניין אותך גם הראשון, דהיינו שייצא 6 6 ברצף, זה כבר סיכויים נמוכים יותר.

@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום

אתה מזכיר לי את ההוא שהיה חוצה כבישים עם תפו"א על הראש, כשביאר את כוונתו בזה שהרי סטטיסטית יש סיכון מאד גבוה במעבר כביש (רוב התאונות הקטלניות הן בעוברי רגל), אך הסיכויים שיקרה תאונה לאדם עם תפו"א על הראש שואפים לאפס...

[אוריי]

@WWW אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אתה מזכיר לי את ההוא שהיה חוצה כבישים עם תפו"א על הראש, כשביאר את כוונתו בזה שהרי סטטיסטית יש סיכון מאד גבוה במעבר כביש (רוב התאונות הקטלניות זה בעוברי רגל), אך הסיכויים שיקרה תאונה לאדם עם תפו"א על הראש שואפים לאפס...

אבל הם הוא יפגע אז הוא הופך את זה למסוכן מאד 100%

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אתה רק מצהיר על האקסיומה הידועה של כדאיות ההליכה לפי הסתברות וטוען שהוא חסר הגיון? אם כן אני לא נכנס לנושא הפילוסופי. הבעיה של מונטי הול מקבלת את תורת ההסתברות ושואלת איך להתנהל לפיה.

אתה שוב עוסק בשאלה האם כדאי ללכת לפי הסתברות סטטיסטית או לא, אני אוחז שלב קודם לכן, למה לפני הטלת הקוביה 6000 פעמים אני יכול לנבא שבערך אלף פעמים הקוביה תיפול על כל צד, ולגלות שצדקתי? מהו המנגנון שאחראי לבדוק כל תוצאה ולפיה להחליט מה תהיה התוצאה הבאה כדי להגיע לתוצאה הרצויה של אלף נפילות לכל צד? האם יש קשר פיזיקלי בין נפילה אחת לזו שבאה אחריה?

[יוסף בן שמעון]

@nigun אני חוזר לנקודת ההתחלה
כללי המשחק הם-השחקן בוחר דלת, המנחה פותח דלת אחרת שאין בה את האוצר.
אני מעמיד מאה שחקנים, מבקש מהם לבצע רק את השלב הראשון, כלומר לבחור דלת ולהמתין.
כמה מתוכם בחרו את הדלת הנכונה? 33 איש, 66 בחרו את הדלת הלא נכונה.
אני ממשיך לשלב הבא, ומבקש מהמנחה לפתוח דלת ש: 1 השחקן לא בחר 2 אין בה את האוצר.
כעת מול כל שחקן יש רק שתי דלתות אופציונליות, הדלת שהוא בחר, והדלת השניה שהמנחה לא פתח.
לפי החשבון, אותם 33 שבחרו את הדלת הנכונה, יפסידו אם הם יחליפו את בחירתם, אותם 66 שבחרו לא נכון, ירוויחו אם יחליפו את בחירתם.

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אתה רק מצהיר על האקסיומה הידועה של כדאיות ההליכה לפי הסתברות וטוען שהוא חסר הגיון? אם כן אני לא נכנס לנושא הפילוסופי. הבעיה של מונטי הול מקבלת את תורת ההסתברות ושואלת איך להתנהל לפיה.

אגב אני דוקא חושב שכל כללי ההנהגה התורניים של חזקות ורוב מבוססות על ההסתברות הססטיסטית, וזה לא פרה אדומה. אם יורשה לי לחלוק על ראש הישיבה שלך...

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אפשר לשאול לפי תירוץ א', אם כן, למה במקרה שהמנחה פתח את הדלת אחרי בחירת האורח אנחנו כן מחלקים את הדלתות לקבוצות של 2 ו-1. למה אנחנו מעדיפים לשים את הדלת הנשארת בקבוצה הגדולה ולא את הדלת המקורית?
(אולי בתת מודע זה מה שמפריע לך?)

אם הבנתי אותך נכון
זה אכן חלק ממה שמפריע לי
(האמת, לא הבנתי האם זה תירוץ או קושיה)
@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אני חוזר לנקודת ההתחלה
כללי המשחק הם-השחקן בוחר דלת, המנחה פותח דלת אחרת שאין בה את האוצר.
אני מעמיד מאה שחקנים, מבקש מהם לבצע רק את השלב הראשון, כלומר לבחור דלת ולהמתין.
כמה מתוכם בחרו את הדלת הנכונה? 33 איש, 66 בחרו את הדלת הלא נכונה.
אני ממשיך לשלב הבא, ומבקש מהמנחה לפתוח דלת ש: 1 השחקן לא בחר 2 אין בה את האוצר.
כעת מול כל שחקן יש רק שתי דלתות אופציונליות, הדלת שהוא בחר, והדלת השניה שהמנחה לא פתח.
לפי החשבון, אותם 33 שבחרו את הדלת הנכונה, יפסידו אם הם יחליפו את בחירתם, אותם 66 שבחרו לא נכון, ירוויחו אם יחליפו את בחירתם.

אדרבה
עכשיו אתה צריך להוציא את כל אלו שבחרו בדלת שנפתחה מהמשחק (כי הם וודאי טעו או בגלל שבמשחק שלנו הוא לא בחר בדלת הזו)
ונשאר לך 66 שהסיכוי שלהם הוא 1/2.

[יוסף בן שמעון]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

עכשיו אתה צריך להוציא את כל אלו שבחרו בדלת שנפתחה מהמשחק

לא הבנתי את המשפט, איך יתכן שהם בחרו בדלת שנפתחה, הרי כללי המשחק הם שאסור למנחה לפתוח את הדלת שנבחרה

@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

המנחה פותח דלת אחרת שאין בה את האוצר

(ההדגשה במקור...)