חידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים)

[חינמי]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

(אפשר לשפר את הפלט על ידי הצגת האחוזים של הצלחה במקום מספרים אבסלוטיים)

זה קיים בגרסה החדשה

[אוריאל אור]

בס"ד
שמעתי פעם שיש סיכוי גדול יותר לאדם להפגע חלילה מתאונת דרכים מאשר לזכות בגורל גדול (כמו, למשל, לוטו, פיס) שהרי הזוכה הוא אחד לכמה מליונים ואילו הנהרג מתאונת דרכים הוא (בסה"כ) אחד לכמה מאות אלפים.
אבל כמובן שזה לא נכון. כי סיכויו של האדם להנזק מתאונת דרכים תלוי בבחירתו. וככל שיזהר וישמר, אינו בכלל הסטיסטיקה כלל. ואילו סיכויו להרוויח בגורל תלוי במזלו ומהרגע שהצטרף לגורל, אין לו אפשרות לחמוק מהסטיסטיקה.
וזה בדיוק השקר שמונח ב"הסתברות".
ככל שהתשובות כאן מופיעות מתבהרת התמונה לענ"ד שהבחירה לא יכולה להיות ב"הסתברות" לבד אלא:
במצב שמדובר בהסתברות שבדוגמת גורל – הכל פתוח. (אחד חלקי שש, תמיד, גם אם תזרוק את הקוביה מליון פעם)
ובמצב הנידון כאן, הרי שמוכרחים לצרף לה את גורמי הנסיבות שמסביב. או שהכל פתוח (דהיינו 2 האפשרויות).

[yossiz]

@nigun שים לב שאין משהו מיוחד בתוצאה של 6 6 לעומת 5 2.
בשני המקרים הסבירות לנחש מראש את התוצאה הוא 1/36 והסבירות לנחש את ההטלה השנייה אחרי שהראשונה כבר קרתה הוא 1/6.

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אז למה בבעיית מונטי הול זה שונה?

אני לא רואה שום קשר.
בסיפור של הטלת קוביות, אם מישהו מנחש מראש שיצא 6 6, אז הסבירות שהוא צודק הוא 1/6 * 1/6 מכיון שכדי שהוא יצדק צריך שמקרה אחד מתוך 36 אפשרויות יקרה.
אחרי שההטלה הראשונה כבר יצאה 6 קיבלנו מידע חדש על הניחוש המקורי - התברר לנו שסיכויי הצלחתו לגבי ההטלה הראשונה עלו מ-1/6 ל-1/1 (או 100%), ואם כן אפשר כבר לזרוק לפח את כל הספיקות לגבי ההטלה הראשונה כיון שכבר התברר שהם לא יקרו. עכשיו נשארו 6 אפשרויות ולכן הסבירות שהוא יצדק עלה ל-1/6.

במונטי הול, בבחירה הראשונה היה לו סבירות של 1/3 שהוא ניחש נכון. כאשר המנחה/סוהר פותח דלת נוספת לא קיבלנו שום מידע נוסף לגבי בחירתו המקורית (זה משפט המפתח). אין לנו שום סיבה להעלות את אחוזי ההצלחה ל-50% ולכן זה באמת נשאר ב-1/3 ושינוי הבחירה יקבל סיכוי של 2/3.

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

במונטי הול, בבחירה הראשונה היה לו סבירות של 1/3 שהוא ניחש נכון. כאשר המנחה/סוהר פותח דלת נוספת לא קיבלנו שום מידע נוסף לגבי בחירתו המקורית (זה משפט המפתח). אין לנו שום סיבה להעלות את אחוזי ההצלחה ל-50% ולכן זה באמת נשאר ב-1/3 ושינוי הבחירה יקבל סיכוי של 2/3.

אמנם לא קיבלנו מידע לגבי הבחירה המקורית
אבל ירד הסיכויים לטעות
(זה שבשלב הקודם היה יותר סיכוי לטעות, לא רלוונטי
זה כמו הטלת הקוביה הקודמת)

[dovid]

נראה לי שכל אחד מאיתנו לא מנסה בכל כוחו להבין את השני ואת טיעוניו אלא להוכיח שבצד השני יש אי היגיון.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל ירד הסיכויים לטעות

למה? הרי מה שהוא לא יבחר יוכל המנחה/סוהר לפתוח דלת. העובדה שהמנחה פתח דלת שמאחוריה עז/קיר לא מגלה לנו שום מידע חדש. אז למה השתנו הסיכויים כלל?

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל ירד הסיכויים לטעות

למה? הרי מה שהוא לא יבחר יוכל המנחה/סוהר לפתוח דלת. העובדה שהמנחה פתח דלת שמאחוריה עז/קיר לא מגלה לנו שום מידע חדש. אז למה השתנו הסיכויים כלל?

המנחה הוריד דלת אחת מהמשוואה
אז הסיכוי לטעות ירד.

[yossiz]

@nigun אתה אומר את זה בצורה רובוטית. "פחות דלתות = פחות סיכויים לטעות" אבל במקרה הזה זה פשוט לא נכון.
תחשוב על זה: הרי גם לפני שהמנחה פתח דלת נוספת ידענו שקיימת דלת נוספת שמאחוריה עז. אם כן האם תטעון שגם לפני שהמנחה פתח את הדלת ירדו הסיכויים שלו לטעות?!

[יוסף בן שמעון]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

זה פשוט וברור לכל מבין שהזריקות הקודמות של הקוביה לא משפיעים על הזריקות הבאות אחריהם. צריך להתווכח על זה?

לא
אבל כשאתה אומר שהסיכויים הם 1/6, אתה בעצם אומר שמתוך שש הטלות רק פעם אחת תעלה הספרה 5, והסימולטור יוכיח http://jsfiddle.net/8wbhg5sx/
אם יש היגיון בסטטיסטיקה, היה אמור להיות צפוי מראש כמה אחוזים בדיוק יצא לכל צד בקוביה, ואילו מספרים יעלו בלוטו.

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אני עדיין אוחז שמי שזה לא מתיישב על ליבו צריך לטפל בלב שלו ולא לחפש תירוצים שונים איך ייתכן שזה נכון ובכל זאת לא הגיוני.

אני חושב שיש כאן שני דברים שונים, כל ההסברים מדוע האסיר יזכה אם הוא יחליף דלת, נכונים אחרי ההנחה שיש חוק נעלם שקובע שהדברים האקראיים יתרחשו על פי סדר מסוים, החוק הזה חסר היגיון בעצם היותו רנדומלי, אבל הוא קיים, כמו שאמרת בטוב טעם:

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

הסיכוי שלא תראה את זה בפועל ב-100 משחקים שואף לאפס.

וזה נכון, בגלל אותו חוק נעלם

לדעתי, ההסבר לבעיה של מונטי הול היא מאד פשוטה, והסיבה שבהשקפה ראשונה אנחנו מתנגדים לקבל אותה, בגלל שאנחנו לא רגילים לשייך את חוקיות הסטטיסטיקה לחיינו, וכשנתקלים בה בצורה כל כך עזה היא מעוררת התנגדות.

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אתה אומר את זה בצורה רובוטית. "פחות דלתות = פחות סיכויים לטעות" אבל במקרה הזה זה פשוט לא נכון.
תחשוב על זה: הרי גם לפני שהמנחה פתח דלת נוספת ידענו שקיימת דלת נוספת שמאחוריה עז. אם כן האם תטעון שגם לפני שהמנחה פתח את הדלת ירדו הסיכויים שלו לטעות?!

משהו כאן כנראה מתפספס לי.
אם מגיע לכאן משתתף חדש שלא יודע על ההיסטוריה
סיכוייו הם 1/2.
וזה בגלל שיש לו שתי דלתות.

גם למשתתף הראשון יש שתי דלתות, ולפני זה היה לו שלוש דלתות
לזה אני קורא שירד לו הסיכוי לטעות.

[dovid]

@nigun אם יש לו שתי אפשרויות: לפתוח שתי דלתות או דלת אחת שלישית גם לזה תקרא 50:50... שהרי סיכום האפשרויות הוא: 1) בדלת השלישית, 2) בשנייים אחרות. למי שמגיע מהצד זה אכן 50:50 אבל זה בגלל העדר הידע שלו, כמו שלמי שיודע את האמת זה 0 אחוז על הדלת הלא נכונה.

[yossiz]

@nigun (בהמשך למה ש@dovid כתב) הסיבה שבגללה אנחנו מייחסים משקל שווה לכל הדלתות בתחלת המשחק היא מכיון שאין לנו שום סיבה לייחס יותר משקל לשום אחד מהם על חבריו.
זה נקרא עקרון האדישות.
אבל במקרה הזה יש לנו סיבה לייחס משקל כפול לדלת השנייה.

[chagold]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

ושינוי הבחירה יקבל סיכוי של 2/3

מה זה שונה ממקרה שבלי שהסוהר עדכן אותו, הוא היה משנה את הבחירה שלו?
בשניהם, השינוי מעלה את הסיכוי שבמהלך הנסיונות שלו הוא עבר גם את הדלת הנכונה, אבל הסיכויים שהוא הרויח בבחירה חדשה זה באותו משקל של מה שהוא איבד את הבחירה הקודמת וא"כ המכלול נשאר בשליש?

[dovid]

@chagold במקרה שהסוהר לא גילה לו, הוא אכן ירויח לעבור מדלת אחת לשניים אחרות, הבעיה שהוא יוכל לפתוח רק אחת מהם והוא לא יודע איזה ולכן בעצם יצא שכרו בהפסדו וזה שווה לגמרי. אן הוא יכול במקום לפתוח דלת שהוא רוצה לפתוח שניים אחרות הוא בהחלט ירויח כפול סיכויים.
הבעיה במונטי הול זה אי ההבנה הראשוני למה הגילוי של הסוהר שופך אור על שני דלתות מסויימות.

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun (בהמשך למה ש@dovid כתב) הסיבה שבגללה אנחנו מייחסים משקל שווה לכל הדלתות בתחלת המשחק היא מכיון שאין לנו שום סיבה לייחס יותר משקל לשום אחד מהם על חבריו.
זה נקרא עקרון האדישות.
אבל במקרה הזה יש לנו סיבה לייחס משקל כפול לדלת השנייה.

זהו בדיוק הנקודה
למה ליחס משקל כפול לדלת השניה בגלל סיפורי העבר?

[אוריאל אור]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

זהו בדיוק הנקודה
למה ליחס משקל כפול לדלת השניה בגלל סיפורי העבר?

בעזה"י
המטופל שואל את המנתח:
הסטיסטיקה אומרת שאחד מ-10 ניתוחים אצלך כושל, האמנם?
המנתח עונה: זה נכון, אבל אל דאגה, אתמול כשלתי יש לי עוד תשע להצליח...

[חינמי]

כל מי שמרגיש מטומטם צריך להבין דבר אחד, החידה הזאת לא רק מציגה שאלה שהתשובה שלה נוגדת את האינטואיציה, אלא השאלה בנויה בצורה שמרמה את האינטואיציה.
במידה ונציג את השאלה בצורה שונה, במקום לפתוח דלת מדומה, הסוהר יציע לאסיר עסקה. או להותיר את הבחירה כמות שהיא, או לפתוח את שתי הדלתות הנותרות. ברור שהאסיר יעדיף את האופציה השניה!, כי זה ברור באינטואיציה שהסיכוי יעלה ל2/3!
ומה שונה בחידה המקורית?, שבמקום לתת לאסיר לפתוח בעצמו, הסוהר פותח!
וזה מה שמטעה את האינטואיציה.
בקיצור, מנסח החידה הוא קודם כל גאון בפסיכולוגיה, ורק אח"כ גאון בסטטיסטיקה.
קרדיט:
@yossiz
https://gadial.net/2008/02/23/monty_hall/#navbarCollapse:~:text=הדרך האהובה עלי ביותר היא זו

[nigun]

@חינמי אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

במידה ונציג את השאלה בצורה שונה, במקום לפתוח דלת מדומה, הסוהר יציע לאסיר עסקה. או להותיר את הבחירה כמות שהיא, או לפתוח את שתי הדלתות הנותרות. ברור שהאסיר יעדיף את האופציה השניה!, כי זה ברור באינטואיציה שהסיכוי יעלה ל2/3!
ומה שונה בחידה המקורית?, שבמקום לתת לאסיר לפתוח בעצמו, הסוהר פותח!

זה שונה
כי במקרה הזה הסוהר כבר פתח
(זה היה דומה אם הסוהר היה מציע לו אם תיפתח את הדלת השניה
אני אפתח את השלישית)

[nigun]

@אוריאל-אור אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

זהו בדיוק הנקודה
למה ליחס משקל כפול לדלת השניה בגלל סיפורי העבר?

בעזה"י
המטופל שואל את המנתח:
הסטיסטיקה אומרת שאחד מ-10 ניתוחים אצלך כושל, האמנם?
המנתח עונה: זה נכון, אבל אל דאגה, אתמול כשלתי יש לי עוד תשע להצליח...

אתה מחזק את דברי או סותר?

[dovid]

@nigun אתה מרוצה מההלוך חזור הזה?
אם ירימו ידיים מלהסביר לך זה יהיה כישלון שלך או של המסבירים (או 50:50)?