-
@OdedDvir אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
אבל מי אמר שמתמטיקה צריכה להיות תמיד אינטואיטיבית ולהתיישב על הלב
אני מבחין בין אינטואיטיביות להתיישבות על הלב.
הפתרון לא אינטואיטיבי, כלומר שאנשים בד"כ לא מגיעים להגיע לפתרון על ידי אינטואיציה, אבל בכל זאת אחרי שמיעת הפתרון והפיכת הדבר לכל צדדיו זה מתיישב לגמרי על הלב.
אני עדיין אוחז שמי שזה לא מתיישב על ליבו צריך לטפל בלב שלו ולא לחפש תירוצים שונים איך ייתכן שזה נכון ובכל זאת לא הגיוני. -
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
זה פשוט וברור לכל מבין שהזריקות הקודמות של הקוביה לא משפיעים על הזריקות הבאות אחריהם. צריך להתווכח על זה?
אני אסביר יותר.
זה ידוע לכל שהסיכוי לקבל 6 שתי פעמים ברציפות הוא 1/36. אז למה בכל זאת אני אומר שאחרי שהזריקה הראשונה יצאה 6 אז הסיכויים לקבל 6 בזריקה השנייה הם 1/6?
התירוץ פשוט, כי בהתחלה היתה הסתברות של 1/6 לקבל 6 בזריקה הראשונה, ואם כן לקבל 6 שוב פעם בשנייה יוצא 1/6 * 1/6 = 1/36.
אבל אחרי הזריקה הראשונה הרי למרות אי ההסתברות שזה יצא 6, אבל הרי זה כבר יצא 6. ואם כן מה שהיה היה ולא מסתכלים רק קדימה, מה ההסתברות לקבל 6 בזריקה השנייה. -
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
@גמליאל התשובה הנכונה היא לא אינטואיטיבית והרבה אנשים מתקשים לקבל אותה, אז אתה לא היחיד...
יש כמה דרכים נפוצות להגיע להבנת התוצאה (כל הדרכים הולכים אל הים, יש רק הסבר אחד אבל כמה דרכים לפתוח את שער ההבנה).
אחת מהדרכים היא על ידי חישוב פשוט:
כאשר האסיר בחר בדלת כלשהו, הרי קיימות שלוש אופציות בדרגות הסתברות זהים. או שהוא בחר בדלת הנכון, או שהשני נכון, או שהשלישי נכון. עכשיו נעשה חישוב קל. אם הדלת שהוא בחר בו הוא הנכון, הרי שעליו להישאר עם בחירתו, אם אחת משתי הדלתות האחרות נכונות עליו לשנות את בחירתו, הרי לפניך שיש הסתברות של 2/3 שהוא ינצח אם הוא ישנה את הבחירה שלו.יש 2 נושאים, נושא ראשון ההתנתקות מהבחירה הקודמת והשני זה הבחירה בדלת הנכונה. אז נכון שאם השאלה היא האם הוא צריך 'לעשות חישוב מסלול מחדש' אז יש יותר סיכויים שהוא יצליח באמצעות בחירה מחודשת כיון שהבחירה הישנה היתה של 33% והחדשה של 50:50, אבל כלפי הבחירה אין סיבה לומר שהוא צריך לבחור מחדש בדלת שונה יותר ממה שעשה.
דרך נוספת:
נדמיין לעצמנו שהסוהר הביא אופציה לבחור או בדלת א' או בדלתות ב' יחד (כלומר שאם אחת משתיהם מוביל לחירות הרי אתה בן חורין). הרי ברור שיותר מסתבר שהדלת שמוביל לחירות נמצא בקבוצה הגדולה יותר של ב' וג' מאשר ההסתברות שא' היא הדלת הנכונה. לכשתמצא לומר, זה מה שקורה פה. כי הרי אם אך נניח שהדלת הנכונה היא אחת משתי הדלתות שעליהם הוא לא הצביע מתחילה, הרי מעתה ברור לנו איזה מהם היא הנכונה מכיון שהשניה נפתחה וראינו מאחוריה קיר.מתוך 2 הדלתות שלא נבחרו אכן אנו יודעים שאחת יש מאחוריה קיר, אבל מתוך ה-2 הלא ידועות זה 50-50.
דרך נוספת:
נדמיין סיפור שבו יש 100 דלתות, האסיר בחר באחת מתוכם, ואז הסוהר פתח 98 מה-99 הנותרות. מה ההסתברות ששינוי הבחירה לדלת האחרת תוביל לחירות?כנ"ל יש הבדל בין שינוי הבחירה לבחירה חדשה שהיא 50:50,
-
@yossiz
בתחילה אני לא התייחסתי לחידה ולא קראתי את כל שנאמר עליה, רק זכרתי שממש לא האמנתי לפתרון עד שכתבתי קוד והקוד בזמנו שיגע אותי בתוצאותיו. כעת קראתי את ההסברים שלך וזה מאוד פשוט ואפילו אינטואיטיבי (למפרע..)אבל ההתייחסות שלי הייתה למשפט שסטטיסטיקה זה נגד ההיגיון. אני ממש מרגיש תמיד ככה, והדוגמה של הקוביות מצויינת. אני מנתח מה שאמרת: הפעם הראשונה זה 1/6 וכן הפעם השניה זה מוסכם על כולנו כנראה, ואכן צירוף השניים אכן יוצא 1/36. גם זה מוסכם ויושב טוב על הלב....
אבל יש פה סתירה: אם אני שואל את עצמי מה יהיו הסיכויים לשניהם, זה אכן 1/36 אבל אם כל מה שאני צריך זה את סיכויי השניה (לא אכפת לי הערך שייצא בראשונה) כלומר אם אני שואל אחרי הטלת האחת מה סכויי השניה לנחש את ההטלה הראשונה, תמיד יש סיכוי 1/6 שתצא אותה תוצאה בהטלה הבאה... איך אני מישב את זה?
לגבי התחושה הזו היא ישנה אצלי כך שייתכן שאני מתעקש להעמיד מחשבות ישנות ואני מתעצל לחשוב מאפס. אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום (לא בגלל הטיווח, אלא בגלל אקראיות הירי הפרימטיבי ותנאי הפיזיקה הכוללים שמשתנים). אם נחק את השטח ונראה שיש למשל מאה אלף מקומות ליפול, האם הסיכוי שייפול עליהם הוא 100 אלף או 100 אלף *100 אלף? הנה לך הזדמנות להסביר לי כי על זה אני מתבסס שסטטיסטיקה נוגדת את הלב.
מנטור אישי למתכנתים (ולא רק) – להתקדם לשלב הבא!
בכל נושא אפשר ליצור קשר dovid@tchumim.com
-
@dovid אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
איך אני מישב את זה?
אני לא רואה פה כל קושיה.
אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום
סביר להניח שחיילים אלו לא היו מלומדים. בזמן סכנה אדם נוטה לתפוס בקשים ואמונות תפלות. לדעתי אין שום הגיון בזה.
-
-
@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
אבל אם שואלים מה הוא אמור לבחור בשעת מעשה?
זה באמת לא משנה וזה כמו לעבור לשוחה שכבר הופצצה.לא ולא. הוא אמור לשנות את הבחירה שלו (אם הוא רוצה לעשות מה שעל פי סטטיסטיקה יש יותר סיכויים שיצליח).
לא הבנתי/הסכמתי לטענה שלך שאתה טוען לאורך כל האשכול. -
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום
סביר להניח שחיילים אלו לא היו מלומדים. בזמן סכנה אדם נוטה לתפוס בקשים ואמונות תפלות. לדעתי אין שום הגיון בזה.
זה רק בהנחה שההפגזות רנדומליות לחלוטין, ומכיוון שזה לא ממש כך, לא בטוח שאין בזה הגיון.
-
@חינמי עברתי על הקוד שלך, יפה מאוד.
רק לא הבנתי בשורה 26 למה:user_choice_1 = random.choice([user_choice, change_choice])ולא:
user_choice_1 = user_choice
האם
user_choice_1לא אמור להכיל את התוצאה של מקרה שהוא דבק בבחירה הקודמת?(אפשר לשפר את הפלט על ידי הצגת האחוזים של הצלחה במקום מספרים אבסלוטיים)
-
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
לא ולא. הוא אמור לשנות את הבחירה שלו (אם הוא רוצה לעשות מה שעל פי סטטיסטיקה יש יותר סיכויים שיצליח).
בא נשאל אחרת
אם הטלתי קוביה פעם אחת ויצא לי שש
ואני רוצה לנחש מה יצא לי בפעם הבאה.
אם אני מנחש שיצא לי 6
ע"פ הסטיסטיקה הסיכוי לצאת צודק הוא 1/36?
זה נכון לניחוש של פעמיים שש
אבל אחרי שכבר יצא לי 6 בפעם הראשונה
הסיכוי כרגע הוא 1/6. -
-
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
@חינמי עברתי על הקוד שלך, יפה מאוד.
רק לא הבנתי בשורה 26 למה:user_choice_1 = random.choice([user_choice, change_choice])ולא:
user_choice_1 = user_choiceכי זה מה שכתוב בחידה:
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):ז.א. שיש לך צ'אנס של חמישים אחוז לנצח במשחק
במידה ותבחר ע"פ תחושת הבטן, ותחושת הבטן יכולה להורות לו גם להחליף את הבחירה!
קבלו גרסה מעודכנת ומשופרת:
The monty hall problem_V0.1.0.py -
בס"ד
שמעתי פעם שיש סיכוי גדול יותר לאדם להפגע חלילה מתאונת דרכים מאשר לזכות בגורל גדול (כמו, למשל, לוטו, פיס) שהרי הזוכה הוא אחד לכמה מליונים ואילו הנהרג מתאונת דרכים הוא (בסה"כ) אחד לכמה מאות אלפים.
אבל כמובן שזה לא נכון. כי סיכויו של האדם להנזק מתאונת דרכים תלוי בבחירתו. וככל שיזהר וישמר, אינו בכלל הסטיסטיקה כלל. ואילו סיכויו להרוויח בגורל תלוי במזלו ומהרגע שהצטרף לגורל, אין לו אפשרות לחמוק מהסטיסטיקה.
וזה בדיוק השקר שמונח ב"הסתברות".
ככל שהתשובות כאן מופיעות מתבהרת התמונה לענ"ד שהבחירה לא יכולה להיות ב"הסתברות" לבד אלא:
במצב שמדובר בהסתברות שבדוגמת גורל – הכל פתוח. (אחד חלקי שש, תמיד, גם אם תזרוק את הקוביה מליון פעם)
ובמצב הנידון כאן, הרי שמוכרחים לצרף לה את גורמי הנסיבות שמסביב. או שהכל פתוח (דהיינו 2 האפשרויות). -
@nigun שים לב שאין משהו מיוחד בתוצאה של 6 6 לעומת 5 2.
בשני המקרים הסבירות לנחש מראש את התוצאה הוא 1/36 והסבירות לנחש את ההטלה השנייה אחרי שהראשונה כבר קרתה הוא 1/6.@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
אז למה בבעיית מונטי הול זה שונה?
אני לא רואה שום קשר.
בסיפור של הטלת קוביות, אם מישהו מנחש מראש שיצא 6 6, אז הסבירות שהוא צודק הוא 1/6 * 1/6 מכיון שכדי שהוא יצדק צריך שמקרה אחד מתוך 36 אפשרויות יקרה.
אחרי שההטלה הראשונה כבר יצאה 6 קיבלנו מידע חדש על הניחוש המקורי - התברר לנו שסיכויי הצלחתו לגבי ההטלה הראשונה עלו מ-1/6 ל-1/1 (או 100%), ואם כן אפשר כבר לזרוק לפח את כל הספיקות לגבי ההטלה הראשונה כיון שכבר התברר שהם לא יקרו. עכשיו נשארו 6 אפשרויות ולכן הסבירות שהוא יצדק עלה ל-1/6.במונטי הול, בבחירה הראשונה היה לו סבירות של 1/3 שהוא ניחש נכון. כאשר המנחה/סוהר פותח דלת נוספת לא קיבלנו שום מידע נוסף לגבי בחירתו המקורית (זה משפט המפתח). אין לנו שום סיבה להעלות את אחוזי ההצלחה ל-50% ולכן זה באמת נשאר ב-1/3 ושינוי הבחירה יקבל סיכוי של 2/3.
-
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
במונטי הול, בבחירה הראשונה היה לו סבירות של 1/3 שהוא ניחש נכון. כאשר המנחה/סוהר פותח דלת נוספת לא קיבלנו שום מידע נוסף לגבי בחירתו המקורית (זה משפט המפתח). אין לנו שום סיבה להעלות את אחוזי ההצלחה ל-50% ולכן זה באמת נשאר ב-1/3 ושינוי הבחירה יקבל סיכוי של 2/3.
אמנם לא קיבלנו מידע לגבי הבחירה המקורית
אבל ירד הסיכויים לטעות
(זה שבשלב הקודם היה יותר סיכוי לטעות, לא רלוונטי
זה כמו הטלת הקוביה הקודמת) -
-
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
אבל ירד הסיכויים לטעות
למה? הרי מה שהוא לא יבחר יוכל המנחה/סוהר לפתוח דלת. העובדה שהמנחה פתח דלת שמאחוריה עז/קיר לא מגלה לנו שום מידע חדש. אז למה השתנו הסיכויים כלל?
המנחה הוריד דלת אחת מהמשוואה
אז הסיכוי לטעות ירד.
