-
לכל מי שמעוניין יש כאן הסבר מתמטי לבעיה ולפתרון.
יש כאן פתרון לא אינטואיטיבי, אולי אפשר להציג את העיקרון לבעיה בדוגמא אחרת:אני מטיל קוביה, ומצפה לראות את המספר 6. ההסתברות לכך היא כמובן 1/6.
מה יקרה אם לא קיבלתי שש בהטלה הראשונה, ואני מטיל את הקוביה שוב, האם גם כאן הסיכוי לקבל 6 הוא 1/6? לכאורה כן (וכך זה יראה לאורח שהגיע זה עתה). אבל לפי חוקי ההסתברות המותנית הוא לא... כי הסיכוי שנקבל בשתי הטלות מספר שאינו שש הוא 5/6*5/6, מה שאומר שהסיכוי לקבל שש בהטלה השניה הוא כמעט כפול...1-(5/6*5/6)=11/36אם גם בהטלה השניה לא קיבלנו שש, הסיכוי לקבל 6 בשלישית גדל עוד יותר וככל שנקבל עוד ועוד מספרים שונים משש הסיכוי לקבל 6 שואף ל 1 (100%)
-
@OdedDvir אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
לכל מי שמעוניין יש כאן הסבר מתמטי לבעיה ולפתרון.
יש כאן פתרון לא אינטואיטיבי, אולי אפשר להציג את העיקרון לבעיה בדוגמא אחרת:אני מטיל קוביה, ומצפה לראות את המספר 6. ההסתברות לכך היא כמובן 1/6.
מה יקרה אם לא קיבלתי שש בהטלה הראשונה, ואני מטיל את הקוביה שוב, האם גם כאן הסיכוי לקבל 6 הוא 1/6? לכאורה כן (וכך זה יראה לאורח שהגיע זה עתה). אבל לפי חוקי ההסתברות המותנית הוא לא... כי הסיכוי שנקבל בשתי הטלות מספר שאינו שש הוא 5/6*5/6, מה שאומר שהסיכוי לקבל שש בהטלה השניה הוא כמעט כפול...1-(5/6*5/6)=11/36לא!
חוק היסתברות מותנה הוא שמתוך שש פעמים כך ייצא. אין שום הסתברות שיצא בפעם השניה. -
@nigun אתה צודק לחלוטין.
הסיבה שתמיד זה יוצא בשני שליש. כי הסוהר במשחק, לא יפתח את הדלת שבחרת, אלא רק את אחת מהדלתות האחרות, נמצא שלא היתה לו בחירה בין שתי דלתות אלא אם כן בחרת את הדלת הלא נכונה. אבל אם בחרת את הדלת הנכונה עמדה לפניו רק אופציה אחת. כי את דלת האוצר לא יכל לפתוח ואת הדלת שבחרת ג''כ לא יכל.
והסיכוי שבחרת את הדלת הנכונה הוא שליש.
אבל אם הסוהר לא ידע מה בחרת, הרי שאתה צודק לחלוטין.
(וממילא אין שום משמעות לנסויים שכלוכם מנסים כאן...כי את האפשרות שיפתח את הדלת שבחרת, או את דלת האוצר,מראש מורידים) -
אם הסוהר לא יודע אין משמעות למה שבחרת קודם כלל. כי הסוהר נפל הצד הלא נכון, יכל באותה מידה לבחור את הדלת שלך, וממילא להשאיר לפניךשני צדדים שוים. ועכשיו זה כמו הטלת קוביה פעם נוספת שאין לה שום משמעות.
רק מכיון שהסוהר יודע מה בחרת, וחייב לפתוח דלת שיש לה שתי תנאים 1. לא בחרת אותה 2. אין בה את האוצר. ממילא אם בחרת את הדלת הנכונה, אתה יכול להניח שהוא בחר בין שתי אופציות ואם בחרת את אחת הדלתות שאינן נכונות, אתה צריך להניח שהוא בחר באופציה אחת שעמדה בפניו. יותר סביר האפשרות השניה. -
@OdedDvir חוק היסתברות קובע, שכאשר אני אעשה סך פעולות גדול, אם אין סיבה מיוחדת שתוצאה א' תהיה יותר פעמים מתוצאה ב', הרי שהם יהיו בצורה שוה עם אחוז סטיה מסויים (נניח 4 אחוז) שיכול גם הוא לקרות.
כאשר כבר הטלת את הקוביה, כעת אתה עומד שוב בנקודת ההתחלה.
כאשר הטלת את הקוביה חמש פעמים, הרי שיש לנו שתי אפשרויות מה קרה כאן, 1. אחוז הסטיה בא הנה (שהרי מתוך אלף סדרות של הטלה, יהיה 4 אחוז של מיקרים בהם היה סטיה וכל הסידרה תצא בלי הסיפרא שש. 2. שעכשיו יבוא שש . והסיכויים לשתי התשובות שוה. 1/6 -
@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
@פלורידה
אבל גם אם לא בחר במודע דלת שלא בחרתי
הוא וודאי פתח דלת שיש לה שתי תנאים- לא בחרתי אותה 2. אין בה את האוצר.
אז מה זה משנה מה עבר לו בראש?
(אני הולך לפי מה שכתבו בהתחלה שזה מתמטי ולא פסיכולוגי)לא! אם זה מיקרי הוא פתח דלת בלי שום תנאי ואין משמעות למה שהיה קודם. (קשור לנושא השני של היסתברות מותנית)
-
@nigun @שואף אחרי כל ההסברים וההוכחות והסימולטרים הלב ממאן לקבל את זה, אבל צריך לזכור שססטיסטיקה זה חוק טבע בדיוק כמו הגרביטציה, אין כאן היגיון אמיתי
מישהו חכם אמר פעם, אם אני זורק קוביה והיא נופלת על הספרה 5, בפעם השניה כבר יש פחות סיכויים שזה יפול על אותו מספר, ובכל זאת נפל שוב על ספרה 5, אחרי הפעם השלישית זה כבר הופך להיות כמעט בלתי אפשרי, אחרי חמש פעמים כל מהמר ישים את כל הקופה שזה כבר לא יפול על אותה ספרה.
נשאלת השאלה, ומה יקרה אם אני אגיד לקוביה "אוקי, בואי נאפס את המשחק ונתחיל מהתחלה"? האם הסיכויים יחזרו להיות כמו הפעם הראשונה? מה בעצם ההבדל בין הפעם הראשונה לפעם העשירית?
אז זהו, שאי אפשר לחפש מה ההגיון שעומד מאחורי החוקיות המוזרה הזו שנקראת מדעי הססטיסטיקה... -
טוב, אז הסימולציה עולה - אבל בגרסת אלפא... אני מקווה שיבינו משהו... זה זקוק להרבה ליטוש.
כתבתי את זה בלחץ זמן, ואני סה"כ פייתוניסט חובב...
The monty hall problem_V0.0.1.py -
@יוסף-בן-שמעון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
הלב ממאן לקבל את זה,
נראה לי שהפתרון הוא לטפל בלב... ההגיון בולט ואם הלב לא רוצה לקבל צריך לפשט את העקמימות...
אבל צריך לזכור שססטיסטיקה זה חוק טבע בדיוק כמו הגרביטציה
אפשר לחלוק על הדמיון אבל אני לא רוצה ליכנס לחלק הפילוסופי
מישהו חכם אמר פעם, אם אני זורק קוביה והיא נופלת על הספרה 5, בפעם השניה כבר יש פחות סיכויים שזה יפול על אותו מספר, ובכל זאת נפל שוב על ספרה 5, אחרי הפעם השלישית זה כבר הופך להיות כמעט בלתי אפשרי, אחרי חמש פעמים כל מהמר ישים את כל הקופה שזה כבר לא יפול על אותה ספרה.
דיבורים אלו אין להם שחר... סליחה על הביטוי. זה דומה למה ש@OdedDvir כתב, אבל זה לא נכון, הזריקות הקודמות של הקוביה אין להם שום השלכה על הבאים אחריהם. זה א' ב' של הסתברויות.
ובודאי שאין להסיק מזה שאין הגיון בסטטיסטיקה.
(סליחה אם יצאתי קצת תקיף זה רק בגלל שבד"כ אתם כותבים לענין אבל כאן לא יכולתי להסכים בשום פנים)
-
@yossiz הבעיה שרק תקפת ולא יישבת שוב דבר.
אני לא מבין כלום בהסתברות, ומסכים עם כל מילה של @יוסף-בן-שמעון.
אז תהיה תקיף גם עלי (כי בד"כ אני כותב לעניין) אבל מה יוצא לך בלהיות תקיף? לא יותר נחמד להסביר לי איפה הטעות וליישב את הדברים על הלב?
(את החידה שהבאת שמעתי לפני כמה שנים והיא בזמנו הוציאה אותי מדעתי. לבסוף עברתי נושא והעקימות בלב כנראה נשארה...). -
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
דיבורים אלו אין להם שחר... סליחה על הביטוי. זה דומה למה ש@OdedDvir כתב, אבל זה לא נכון, הזריקות הקודמות של הקוביה אין להם שום השלכה על הבאים אחריהם. זה א' ב' של הסתברויות.
בזכותך עיינתי שוב בנושא וראיתי שאכן טעיתי... תמיד הסיכוי לקבל 6 הוא 1/6 יש כאן הוכחה לכך (בעמוד 7). אבל מי אמר שמתמטיקה צריכה להיות תמיד אינטואיטיבית ולהתיישב על הלב?
בכל מקרה שמחתי לראות כאן דיון מעניין וחי... -
@dovid תמקד אותי מה צריך הסבר.
זה פשוט וברור לכל מבין שהזריקות הקודמות של הקוביה לא משפיעים על הזריקות הבאות אחריהם. צריך להתווכח על זה?
ואם כן אין להסיק מזה שאין הגיון בסטטיסטיקה.
ולעצם החידה, הסברתי וחזרתי והסברתי ושוב הסברתי עוד הפעם. אצלי זה מתיישב לגמרי על הלב ואני לא רואה שום צורך להגיע לפילוסופיה כדי להסביר את הדברים. לו נניח שיש הגיון בסטטיסטיקה לא מכאן תבוא הפירכא. -
@OdedDvir אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
אבל מי אמר שמתמטיקה צריכה להיות תמיד אינטואיטיבית ולהתיישב על הלב
אני מבחין בין אינטואיטיביות להתיישבות על הלב.
הפתרון לא אינטואיטיבי, כלומר שאנשים בד"כ לא מגיעים להגיע לפתרון על ידי אינטואיציה, אבל בכל זאת אחרי שמיעת הפתרון והפיכת הדבר לכל צדדיו זה מתיישב לגמרי על הלב.
אני עדיין אוחז שמי שזה לא מתיישב על ליבו צריך לטפל בלב שלו ולא לחפש תירוצים שונים איך ייתכן שזה נכון ובכל זאת לא הגיוני. -
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
זה פשוט וברור לכל מבין שהזריקות הקודמות של הקוביה לא משפיעים על הזריקות הבאות אחריהם. צריך להתווכח על זה?
אני אסביר יותר.
זה ידוע לכל שהסיכוי לקבל 6 שתי פעמים ברציפות הוא 1/36. אז למה בכל זאת אני אומר שאחרי שהזריקה הראשונה יצאה 6 אז הסיכויים לקבל 6 בזריקה השנייה הם 1/6?
התירוץ פשוט, כי בהתחלה היתה הסתברות של 1/6 לקבל 6 בזריקה הראשונה, ואם כן לקבל 6 שוב פעם בשנייה יוצא 1/6 * 1/6 = 1/36.
אבל אחרי הזריקה הראשונה הרי למרות אי ההסתברות שזה יצא 6, אבל הרי זה כבר יצא 6. ואם כן מה שהיה היה ולא מסתכלים רק קדימה, מה ההסתברות לקבל 6 בזריקה השנייה. -
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
@גמליאל התשובה הנכונה היא לא אינטואיטיבית והרבה אנשים מתקשים לקבל אותה, אז אתה לא היחיד...
יש כמה דרכים נפוצות להגיע להבנת התוצאה (כל הדרכים הולכים אל הים, יש רק הסבר אחד אבל כמה דרכים לפתוח את שער ההבנה).
אחת מהדרכים היא על ידי חישוב פשוט:
כאשר האסיר בחר בדלת כלשהו, הרי קיימות שלוש אופציות בדרגות הסתברות זהים. או שהוא בחר בדלת הנכון, או שהשני נכון, או שהשלישי נכון. עכשיו נעשה חישוב קל. אם הדלת שהוא בחר בו הוא הנכון, הרי שעליו להישאר עם בחירתו, אם אחת משתי הדלתות האחרות נכונות עליו לשנות את בחירתו, הרי לפניך שיש הסתברות של 2/3 שהוא ינצח אם הוא ישנה את הבחירה שלו.יש 2 נושאים, נושא ראשון ההתנתקות מהבחירה הקודמת והשני זה הבחירה בדלת הנכונה. אז נכון שאם השאלה היא האם הוא צריך 'לעשות חישוב מסלול מחדש' אז יש יותר סיכויים שהוא יצליח באמצעות בחירה מחודשת כיון שהבחירה הישנה היתה של 33% והחדשה של 50:50, אבל כלפי הבחירה אין סיבה לומר שהוא צריך לבחור מחדש בדלת שונה יותר ממה שעשה.
דרך נוספת:
נדמיין לעצמנו שהסוהר הביא אופציה לבחור או בדלת א' או בדלתות ב' יחד (כלומר שאם אחת משתיהם מוביל לחירות הרי אתה בן חורין). הרי ברור שיותר מסתבר שהדלת שמוביל לחירות נמצא בקבוצה הגדולה יותר של ב' וג' מאשר ההסתברות שא' היא הדלת הנכונה. לכשתמצא לומר, זה מה שקורה פה. כי הרי אם אך נניח שהדלת הנכונה היא אחת משתי הדלתות שעליהם הוא לא הצביע מתחילה, הרי מעתה ברור לנו איזה מהם היא הנכונה מכיון שהשניה נפתחה וראינו מאחוריה קיר.מתוך 2 הדלתות שלא נבחרו אכן אנו יודעים שאחת יש מאחוריה קיר, אבל מתוך ה-2 הלא ידועות זה 50-50.
דרך נוספת:
נדמיין סיפור שבו יש 100 דלתות, האסיר בחר באחת מתוכם, ואז הסוהר פתח 98 מה-99 הנותרות. מה ההסתברות ששינוי הבחירה לדלת האחרת תוביל לחירות?כנ"ל יש הבדל בין שינוי הבחירה לבחירה חדשה שהיא 50:50,
-
@yossiz
בתחילה אני לא התייחסתי לחידה ולא קראתי את כל שנאמר עליה, רק זכרתי שממש לא האמנתי לפתרון עד שכתבתי קוד והקוד בזמנו שיגע אותי בתוצאותיו. כעת קראתי את ההסברים שלך וזה מאוד פשוט ואפילו אינטואיטיבי (למפרע..)אבל ההתייחסות שלי הייתה למשפט שסטטיסטיקה זה נגד ההיגיון. אני ממש מרגיש תמיד ככה, והדוגמה של הקוביות מצויינת. אני מנתח מה שאמרת: הפעם הראשונה זה 1/6 וכן הפעם השניה זה מוסכם על כולנו כנראה, ואכן צירוף השניים אכן יוצא 1/36. גם זה מוסכם ויושב טוב על הלב....
אבל יש פה סתירה: אם אני שואל את עצמי מה יהיו הסיכויים לשניהם, זה אכן 1/36 אבל אם כל מה שאני צריך זה את סיכויי השניה (לא אכפת לי הערך שייצא בראשונה) כלומר אם אני שואל אחרי הטלת האחת מה סכויי השניה לנחש את ההטלה הראשונה, תמיד יש סיכוי 1/6 שתצא אותה תוצאה בהטלה הבאה... איך אני מישב את זה?
לגבי התחושה הזו היא ישנה אצלי כך שייתכן שאני מתעקש להעמיד מחשבות ישנות ואני מתעצל לחשוב מאפס. אני שמעתי בילדותי שחיילים במלחמת העולם הראשונה היו יוצאים מהשוחה שלהם ונכנסים למכתש שיצרו פצצות בקרבת מקום, באמרם שאין כמעט בעולם מצב שנופלים שתי פצצות באותו מקום (לא בגלל הטיווח, אלא בגלל אקראיות הירי הפרימטיבי ותנאי הפיזיקה הכוללים שמשתנים). אם נחק את השטח ונראה שיש למשל מאה אלף מקומות ליפול, האם הסיכוי שייפול עליהם הוא 100 אלף או 100 אלף *100 אלף? הנה לך הזדמנות להסביר לי כי על זה אני מתבסס שסטטיסטיקה נוגדת את הלב.
