-
אני חושש שאני סובל חלילה מדיסקלקוליה
עברתי שוב ושוב על בעיית מונטי הול בהמכלול ונלאיתי מניסיון הבנה, מדוע קיימת סיבה כלשהי להחלפה, ומדוע הסיכויים עולים על 1/2 באחת מהדלתות.
הדבר היחיד שהבנתי זה את האבסורד
"מצד אחד, הסיכוי שהשחקן בחר בדלת הנכונה היה 1/3, וברגע הבחירה ברור לו שמבין שתי הדלתות האחרות לפחות אחת מסתירה עז. אם כך, המנחה שפתח דלת לא גילה לשחקן שום דבר שלא ידע מראש, ולכן הסיכוי שהדלת שבחר היא הנכונה צריך, לכאורה, להשאר שליש, כשהיה."
זה אבסורד שצריך לחשוב עליו, אבל עדיין לא רואה סיבה להגדלת הסיכויים בפתיחת אחד משתי הדלתות הנותרות. -
@גמליאל התשובה הנכונה היא לא אינטואיטיבית והרבה אנשים מתקשים לקבל אותה, אז אתה לא היחיד...
בוויקיפידיה באנגלית קיימת (כמו תמיד) כתבה מקיפה יותר על הנושא ושם מובא שאחרי הפרסום הראשון של החידה (בכתב עת מתמטי כלשהו), קיבל הכותב כ-10,000 מכתבים, מתוכם כ-1,000 מבעלי PhD כאשר רוב הכותבים התווכחו נגד הפתרון הנכון. מובא גם שהמתמטיקאי פאול ארדש שהיה מגדולי המתמטיקאים שבדור, סירב לקבל את התשובה עד שהוכיחו לו את נכונותה על ידי סימולציה. (אני מתקשה להאמין לזה.)
יש כמה דרכים נפוצות להגיע להבנת התוצאה (כל הדרכים הולכים אל הים, יש רק הסבר אחד אבל כמה דרכים לפתוח את שער ההבנה).
אחת מהדרכים היא על ידי חישוב פשוט:
כאשר האסיר בחר בדלת כלשהו, הרי קיימות שלוש אופציות בדרגות הסתברות זהים. או שהוא בחר בדלת הנכון, או שהשני נכון, או שהשלישי נכון. עכשיו נעשה חישוב קל. אם הדלת שהוא בחר בו הוא הנכון, הרי שעליו להישאר עם בחירתו, אם אחת משתי הדלתות האחרות נכונות עליו לשנות את בחירתו, הרי לפניך שיש הסתברות של 2/3 שהוא ינצח אם הוא ישנה את הבחירה שלו.דרך נוספת:
נדמיין לעצמנו שהסוהר הביא אופציה לבחור או בדלת א' או בדלתות ב' וג' יחד (כלומר שאם אחת משתיהם מוביל לחירות הרי אתה בן חורין). הרי ברור שיותר מסתבר שהדלת שמוביל לחירות נמצא בקבוצה הגדולה יותר של ב' וג' מאשר ההסתברות שא' היא הדלת הנכונה. לכשתמצא לומר, זה מה שקורה פה. כי הרי אם אך נניח שהדלת הנכונה היא אחת משתי הדלתות שעליהם הוא לא הצביע מתחילה, הרי מעתה ברור לנו איזה מהם היא הנכונה מכיון שהשניה נפתחה וראינו מאחוריה קיר.דרך נוספת:
נדמיין סיפור שבו יש 100 דלתות, האסיר בחר באחת מתוכם, ואז הסוהר פתח 98 מה-99 הנותרות. מה ההסתברות ששינוי הבחירה לדלת האחרת תוביל לחירות?נקודה חשובה:
הבחירה של הסוהר לפתוח את הדלת שהוא פתח מושפעת מבחירתו המקורי של האסיר.
אם המצב לא היה כך והסוהר היה פותח דלת כלשהו מהנותרות בצורה אקראית אז התשובה היתה שונה. כי אז העובדה שגילינו קיר מאחורי הדלת שהוא פתח מעלה את הסיכויים שהדלת המקורי שהאסיר הצביע עליו היתה הנכונה.דו"ק
-
אינני מתווכח עם אנשים יותר חכמים ממני.
אבל רק רוצה להבין דבר אחד.
עכשיו שהסוהר פתח דלת אחת ונשארו לנו רק שתי דלתות. על כל דלת יש בדיוק 50% שהיא הנכונה.
אם יבוא עכשיו אסיר חדש, ונבקש ממנו לבחור דלת, מה איכפת לו מהסיפורים שקרו פה לפני שהוא הגיע. תאכלס יש עכשיו שתי דלתות ולכל אחת יש סיכוי שווה.
אז למה שלאסיר הראשון זה יהיה שונה? -
-
@שואף התשובה לשאלתך היא נקודת המפתח להבנת הפתרון
הבחירה של הסוהר לפתוח דלת מסויימת ולא השנייה מושפעת מהבחירה המקורית של האסיר. אם האסיר לא בחר בדלת הנכונה, הרי שהסוהר מוכרח לפתוח אחת משתי הדלתות הנותרות. אז מה שקרה היא לא היסטוריה אלא מלמדת על ההווה. -
-
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
@שואף התשובה לשאלתך היא נקודת המפתח להבנת הפתרון
הבחירה של הסוהר לפתוח דלת מסויימת ולא השנייה מושפעת מהבחירה המקורית של האסיר. אם האסיר לא בחר בדלת הנכונה, הרי שהסוהר מוכרח לפתוח אחת משתי הדלתות הנותרות. אז מה שקרה היא לא היסטוריה אלא מלמדת על ההווה.מה זה משנה?
אם יגיע לכאן אסיר חדש
מה הסיכויים שלו? -
לעניות דעתי, זו שאלה בסטטיסטיקה ולא במתמטיקה.
מתמטיקה זה מדע מוחלט, 1+1=2.
כאן אין תשובה נכונה ולא נכונה, כי גם אם ההסתברות שהדלת שהוא בחר זה 1/3 נכון, ולכן עדיף לו לשנות את הבחירה כדי שיהיה לו 2/3, עדיין יכול להיות שהשליש היה נכון ועכשיו הוא יפסיד ולו אין הזדמנויות נוספות..
לכן, אין כאן אמת מוחלטת, יש סיכויי הצלחה יותר גבוהים.
לדעתי זה בתחום מדעי ההסתברות, לא מתמטיקה טהורה. -
למי שעוד לא הבין אעשה נסיון נוסף להסביר:
נקרא לדלת הנבחרת המקורית "דלת 1".
ישנן בדיוק 3 אפשרויות:- הבחירה המקורית הייתה נכונה. אם כן האסיר צריך לשמור על בחירתו המקורית.
- הדלת הנכונה היא "דלת 2". אם כן בעל כרחו הסוהר פתח "דלת 3". כמובן שהאסיר צריך לשנות את בחירתו לדלת שנותרה - דלת 2.
- הדלת הנכונה היא "דלת 3". אם כן בעל כרחו הסוהר פתח "דלת 2". כמובן שהאסיר צריך לשנות את בחירתו לדלת שנותרה - דלת 3.
הרי לפנינו, ל-2 מתוך 3 אפשרויות עדיף לשנות את הבחירה.
נקודה חשובה:
אם הסוהר היה בוחר באקראי באחת משתי הדלתות שנותרו, המצב שונה במקצת.
נעבור שוב את האפשרויות:- הבחירה המקורית הייתה נכונה. אם כן האסיר צריך לשמור על בחירתו המקורית. סבירות: 1/3
- הדלת הנכונה היא "דלת 2" וגם באופן אקראי הסוהר בחר ב"דלת 3". סבירות: 1/6.
- הדלת הנכונה היא "דלת 3" וגם באופן אקראי הסוהר בחר ב"דלת 2". סבירות: 1/6.
נסכם את הסבירויות: שמור על הבחירה המקורית: 1/3. החלף לדלת שנותרה: 1/6 + 1/6 = 1/3.
-
-
-
@yossiz
במטותא מכבודו אבל אני חושב שזה ממש לא שאלה לוגית כי א"כ אין שום סיבה לשנות את הבחירה [ואם כבר זה כמעט אנטילוגי] זה יותר פילוסופיה על בסיסי מתמטי מסויים אבל במציאות גם בסימולציה זה רק ימחיש את מה שק"ק להבין בציור אבל עדיין זה ישאר לא נכון, [ואתה יכול לנסות את זה על משהו בפועל עם אנשים חיים (אולי עם כמה ילדים בבית) ולבדוק את זה הלכה למעשה {ולא רק מול הבחירה שלהם אלא גם מול עצמך וק"ל}]. -
@nigun דרך אחר לחשוב על הנושא הוא לנסח את זה כך:
הסוהר גרם למצב שאם אך נניח שהדלת הנכונה נמצא בקבוצה של {דלת 2, דלת 3} אז אנחנו יודעים בוודאות איזה משתיהם הנכונה. אם כן אפשר לתמצת את השאלה של האסיר לזה:
מה היא מדת הסבירות שהדלת הנכונה נמצא בקבוצה של {דלת 2, דלת 3} לעומת הסבירות שהדלת הנכונה היא דלת 1.@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
אבל בשלב ב (אחרי שהסוהר פתח את הדלת) הסבירות היא 1/2.
לא נכון כמו שהסברנו בארוכה.
ואם יבוא לכאן אסיר נוסף, לא יהיה לו עדיפות על "דלת 2" יותר מאשר "דלת 1".
לא נכון. אין שום הבדל מי עושה את הבחירה (כמובן אחרי שנודיע לו על ההיסטוריה).
-
@גאון לא הבנתי את טענתך. האם אתה טוען שאין הגיון לבחור במשהו שיותר סביר סטטיסטי? (אם כן זו באמת שאלה פילוסופית ואין לי ענין ליכנס לנושא)
@גאון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
[ואתה יכול לנסות את זה על משהו בפועל עם אנשים חיים (אולי עם כמה ילדים בבית) ולבדוק את זה הלכה למעשה {ולא רק מול הבחירה שלהם אלא גם מול עצמך וק"ל}].
לא הבנתי, מה לדעתך תהיה התוצאה?
-
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
@גאון לא הבנתי את טענתך. האם אתה טוען שאין הגיון לבחור במשהו שיותר סביר סטטיסטי? (אם כן זו באמת שאלה פילוסופית ואין לי ענין ליכנס לנושא)
אם זה סטטיסטי אמיי אז כן אבל כאן זה לא הסתברות אמיתית אלא רק בגלל שכשמראש בחרתי היה לי 33.3% ועכשיו יש לי על השני 50% אבל זה נכון רק בתאוריה כי תכל'ס גם על מה שבחרתי יש לי עכשיו 50%,
[לפי מש"כ לעיל שבכל מקרה הסוהר היה פותח את הדלת- ולא ממש הבנתי מש"כ אח"ז שלא בכל מקרה וכו'] -
@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
מה היא מדת הסבירות שהדלת הנכונה נמצא בקבוצה של {דלת 2, דלת 3} לעומת הסבירות שהדלת הנכונה היא דלת 1.אם זאת השאלה, אכן ההסתברות היא 2/3 (גם אם המנחה לא פותח את הדלת)
אבל השאלה כרגע היא לא באיזה קבוצה זה נמצא
אלא איזו דלת היא הנכונה.
זאת אומרת שגם אלף דלתות והמנחה היה פותח 998 דלתות הסיכוי היה 998/1000
אבל בשלב הנוכחי זה לא רלוונטי.
