חידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים)

[yossiz]

החידה ופתרונה די ידועים, אז סליחה אם אני לא מחדש משהו למישהו...

החידה:
אסיר נמצא בבית סוהר, והסוהר קם בוקר אחד על רגל ימין והוא מציע לאסיר לשחק את המשחק הבא.
"לפניך שלוש דלתות, מאחורי אחת מהם מתחבאת הדרך לחירות, מאחורי האחרים אין כלום. אם אתה מצליח להצביע על הדלת הנכונה הדרך לחירות פתוחה לפניך!"
כל הדלתות זהות ולאסיר אין שום דרך לדעת מאחורי איזה מהן מסתתרת לה הדרך לחירות.
האסיר אומר לעצמו "מה יש לי להפסיד?" והוא מצביע על אחת מהדלתות בצורה אקראית.
ברגע של חסד הסוהר אומר לו: "אני רוצה לתת לך סיכוי יותר טוב". הוא פותח אחת משתי הדלתות הנותרות שעליהם לא הצביע האסיר וחושף מאחוריה קיר.
"עכשיו", אומר לו הסוהר, "נשארו רק שתי דלתות, ז.א. שיש לך צ'אנס של חמישים אחוז לנצח במשחק, האם אתה נשאר עם הבחירה הקודמת שלך או שאתה רוצה לשנות אותה?"
מה על האסיר לעשות?

1. להישאר עם הבחירה הקודמת.
2. לשנות את הבחירה הקודמת ולהצביע על הדלת השלישית.
3. לא משנה מה הוא יעשה יש לו סיכוי של 50% לנצח.

[שואף]

במקומו היית מחליף לדלת השלישית.
הסוהר הראה טוב לב, ואם הדלת שהאסיר בחר היתה הנכונה, הוא היה נותן לו לפתוח אותה ולא היה ממשיך לסבך אותו. משמע שכנראה הדלת לא היתה הנכונה, והוא רצה לרמוז לו להחליף.

[by6199]

@שואף מי אמר שטוב לב, אולי ערמומיות כי לא רצה להוציא אותו, בחירה בדלת הנכונה הביאה אותו להצעה שיסטה מהדלת הנכונה

[אוריאל אור]

בעזה"י
יש כאן סוהר ואסיר. כיון שתפקידו של הסוהר למנוע את בריחת האסיר, התשובה היא לענ"ד: עליו לבחור ב-2
כי הצעתו ה"נדיבה" של הסוהר אמורה למנוע ממנו את היציאה.
[אילו היה מדובר באב ובנו, או במחלץ ואסיר, בקיצור באוהבים זה לזה, יתכן שהיה עליו להשאר בבחירתו הקודמת.
המסר: אל תבחן רק את העצה אלא גם את המיעץ...]

[yossiz]

@שואף @by6199 @אוריאל-אור
כנראה שאתם לא מכירים מכבר את החידה (ולא קראתם את הכתבה בהמכלול)
זה אמור להיות חידה מתמטית (בנושא הסתברויות) כמו שציינתי בכותרת ולכן כל פתרון פסיכולגי לא נכון.
כדי להפוך את החידה לחידה מתמטית ולהוריד כל הטיעונים הפסיכולגיים ושלא יהיה שום עמימות נצטרך להניח כמה הנחות (או לשנות את הסיפור קצת...):

• הסוהר יודע איזה דלת היא האמיתית
• הסוהר תמיד יפתח דלת נוסף בלי קשר למה שבחרת
• הסוהר אף פעם לא יגלה את הדלת האמיתית

מה לדעתכם התשובה הנכונה עכשיו?

[אוריאל אור]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

הסוהר תמיד יפתח דלת נוסף בלי קשר למה שבחרת

בעזה"י. באמת לא יודע.
[רק להגיד הרבה תהלים...]

[yossiz]

@אוריאל-אור אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

בעזה"י. באמת לא יודע.

כלומר שיש לו סיכוי של 50% לא משנה מה הוא יבחר?
(התשובה לא נכונה)

[רק להגיד הרבה תהלים...]

זה ברור

[אוריאל אור]

@yossiz
בעזה"י
מספרים שיהודי אחד נוסע ברכבת. במהלך הנסיעה עולה נוסע נוסף, מתיישב לידו ושואל: לאן יהודי נוסע?
עונה היהודי: אני נוסע לווילנא.
רוטן הנוסע החדש: מדוע תְּהַלֵּךְ עקלקלות; אתה אומר לי שאתה נוסע לווילנא כדי שאני יחשוב שאתה נוסע לקובנא ובאמת אתה נוסע לווילנא. אז מדוע לא תאמר שאתה נוסע לווילנא?

[גמליאל]

אני חושש שאני סובל חלילה מדיסקלקוליה
עברתי שוב ושוב על בעיית מונטי הול בהמכלול ונלאיתי מניסיון הבנה, מדוע קיימת סיבה כלשהי להחלפה, ומדוע הסיכויים עולים על 1/2 באחת מהדלתות.
הדבר היחיד שהבנתי זה את האבסורד
"מצד אחד, הסיכוי שהשחקן בחר בדלת הנכונה היה 1/3, וברגע הבחירה ברור לו שמבין שתי הדלתות האחרות לפחות אחת מסתירה עז. אם כך, המנחה שפתח דלת לא גילה לשחקן שום דבר שלא ידע מראש, ולכן הסיכוי שהדלת שבחר היא הנכונה צריך, לכאורה, להשאר שליש, כשהיה."
זה אבסורד שצריך לחשוב עליו, אבל עדיין לא רואה סיבה להגדלת הסיכויים בפתיחת אחד משתי הדלתות הנותרות.

[yossiz]

@גמליאל התשובה הנכונה היא לא אינטואיטיבית והרבה אנשים מתקשים לקבל אותה, אז אתה לא היחיד...

בוויקיפידיה באנגלית קיימת (כמו תמיד) כתבה מקיפה יותר על הנושא ושם מובא שאחרי הפרסום הראשון של החידה (בכתב עת מתמטי כלשהו), קיבל הכותב כ-10,000 מכתבים, מתוכם כ-1,000 מבעלי PhD כאשר רוב הכותבים התווכחו נגד הפתרון הנכון. מובא גם שהמתמטיקאי פאול ארדש שהיה מגדולי המתמטיקאים שבדור, סירב לקבל את התשובה עד שהוכיחו לו את נכונותה על ידי סימולציה. (אני מתקשה להאמין לזה.)

יש כמה דרכים נפוצות להגיע להבנת התוצאה (כל הדרכים הולכים אל הים, יש רק הסבר אחד אבל כמה דרכים לפתוח את שער ההבנה).

אחת מהדרכים היא על ידי חישוב פשוט:
כאשר האסיר בחר בדלת כלשהו, הרי קיימות שלוש אופציות בדרגות הסתברות זהים. או שהוא בחר בדלת הנכון, או שהשני נכון, או שהשלישי נכון. עכשיו נעשה חישוב קל. אם הדלת שהוא בחר בו הוא הנכון, הרי שעליו להישאר עם בחירתו, אם אחת משתי הדלתות האחרות נכונות עליו לשנות את בחירתו, הרי לפניך שיש הסתברות של 2/3 שהוא ינצח אם הוא ישנה את הבחירה שלו.

דרך נוספת:
נדמיין לעצמנו שהסוהר הביא אופציה לבחור או בדלת א' או בדלתות ב' וג' יחד (כלומר שאם אחת משתיהם מוביל לחירות הרי אתה בן חורין). הרי ברור שיותר מסתבר שהדלת שמוביל לחירות נמצא בקבוצה הגדולה יותר של ב' וג' מאשר ההסתברות שא' היא הדלת הנכונה. לכשתמצא לומר, זה מה שקורה פה. כי הרי אם אך נניח שהדלת הנכונה היא אחת משתי הדלתות שעליהם הוא לא הצביע מתחילה, הרי מעתה ברור לנו איזה מהם היא הנכונה מכיון שהשניה נפתחה וראינו מאחוריה קיר.

דרך נוספת:
נדמיין סיפור שבו יש 100 דלתות, האסיר בחר באחת מתוכם, ואז הסוהר פתח 98 מה-99 הנותרות. מה ההסתברות ששינוי הבחירה לדלת האחרת תוביל לחירות?

נקודה חשובה:
הבחירה של הסוהר לפתוח את הדלת שהוא פתח מושפעת מבחירתו המקורי של האסיר.
אם המצב לא היה כך והסוהר היה פותח דלת כלשהו מהנותרות בצורה אקראית אז התשובה היתה שונה. כי אז העובדה שגילינו קיר מאחורי הדלת שהוא פתח מעלה את הסיכויים שהדלת המקורי שהאסיר הצביע עליו היתה הנכונה.

דו"ק

[שואף]

אינני מתווכח עם אנשים יותר חכמים ממני.
אבל רק רוצה להבין דבר אחד.
עכשיו שהסוהר פתח דלת אחת ונשארו לנו רק שתי דלתות. על כל דלת יש בדיוק 50% שהיא הנכונה.
אם יבוא עכשיו אסיר חדש, ונבקש ממנו לבחור דלת, מה איכפת לו מהסיפורים שקרו פה לפני שהוא הגיע. תאכלס יש עכשיו שתי דלתות ולכל אחת יש סיכוי שווה.
אז למה שלאסיר הראשון זה יהיה שונה?

[nigun]

@yossiz
זה בעיה מתמטית או פילוסופית?
כי באמת ההסתברות היא 1/2
ורק בגלל הצירוף עם ההסתברות בשלב הקודם נהיה כאן שאלה בכלל.

[yossiz]

@שואף התשובה לשאלתך היא נקודת המפתח להבנת הפתרון
הבחירה של הסוהר לפתוח דלת מסויימת ולא השנייה מושפעת מהבחירה המקורית של האסיר. אם האסיר לא בחר בדלת הנכונה, הרי שהסוהר מוכרח לפתוח אחת משתי הדלתות הנותרות. אז מה שקרה היא לא היסטוריה אלא מלמדת על ההווה.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

זה בעיה מתמטית או פילוסופית?

מתמטית נטו, ברגע שאתה מערב תחום אחר, פילוספיה או פסיכולוגיה גילית שלא הבנתי את התשובה.

[שואף]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אם האסיר לא בחר בדלת הנכונה

הסוהר פותח רק אם האסיר לא בחר בדלת הנכונה? אז מה השאלה, 100% שהשלישית היא הנכונה ??

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@שואף התשובה לשאלתך היא נקודת המפתח להבנת הפתרון
הבחירה של הסוהר לפתוח דלת מסויימת ולא השנייה מושפעת מהבחירה המקורית של האסיר. אם האסיר לא בחר בדלת הנכונה, הרי שהסוהר מוכרח לפתוח אחת משתי הדלתות הנותרות. אז מה שקרה היא לא היסטוריה אלא מלמדת על ההווה.

מה זה משנה?
אם יגיע לכאן אסיר חדש
מה הסיכויים שלו?

[yossiz]

@שואף לא. כתבתי למעלה שהסוהר פותח בכל מקרה, אבל יש הסתברות של 2/3 שהאסיר לא בחר בדלת הנכונה ואם כן הבחירה של הסוהר היתה מוכרחת.

[avr416]

לעניות דעתי, זו שאלה בסטטיסטיקה ולא במתמטיקה.
מתמטיקה זה מדע מוחלט, 1+1=2.
כאן אין תשובה נכונה ולא נכונה, כי גם אם ההסתברות שהדלת שהוא בחר זה 1/3 נכון, ולכן עדיף לו לשנות את הבחירה כדי שיהיה לו 2/3, עדיין יכול להיות שהשליש היה נכון ועכשיו הוא יפסיד ולו אין הזדמנויות נוספות..
לכן, אין כאן אמת מוחלטת, יש סיכויי הצלחה יותר גבוהים.
לדעתי זה בתחום מדעי ההסתברות, לא מתמטיקה טהורה.

[yossiz]

@avr416 כתבתי מתמטיקה לפי ההבנה שלי ש(רוב) תורת ההסתברות היא רק ענף של מתמטיקה. (למרות שיש נגיעות גם לפילוסופיה, אבל התשובה לשאלה זו נעוצה בחלק המתמטי לא בחלק הפילוסופי)

[yossiz]

למי שעוד לא הבין אעשה נסיון נוסף להסביר:

נקרא לדלת הנבחרת המקורית "דלת 1".
ישנן בדיוק 3 אפשרויות:

• הבחירה המקורית הייתה נכונה. אם כן האסיר צריך לשמור על בחירתו המקורית.
• הדלת הנכונה היא "דלת 2". אם כן בעל כרחו הסוהר פתח "דלת 3". כמובן שהאסיר צריך לשנות את בחירתו לדלת שנותרה - דלת 2.
• הדלת הנכונה היא "דלת 3". אם כן בעל כרחו הסוהר פתח "דלת 2". כמובן שהאסיר צריך לשנות את בחירתו לדלת שנותרה - דלת 3.

הרי לפנינו, ל-2 מתוך 3 אפשרויות עדיף לשנות את הבחירה.

נקודה חשובה:
אם הסוהר היה בוחר באקראי באחת משתי הדלתות שנותרו, המצב שונה במקצת.
נעבור שוב את האפשרויות:

• הבחירה המקורית הייתה נכונה. אם כן האסיר צריך לשמור על בחירתו המקורית. סבירות: 1/3
• הדלת הנכונה היא "דלת 2" וגם באופן אקראי הסוהר בחר ב"דלת 3". סבירות: 1/6.
• הדלת הנכונה היא "דלת 3" וגם באופן אקראי הסוהר בחר ב"דלת 2". סבירות: 1/6.

נסכם את הסבירויות: שמור על הבחירה המקורית: 1/3. החלף לדלת שנותרה: 1/6 + 1/6 = 1/3.

[nigun]

@yossiz
אבל למה לערבב את הסבירות שהייתה בשלב א' עם הסבירות של שלב ב'?

[yossiz]

@nigun אני לא מבין את השאלה.

(אגב, אפשר בקלות לעשות סימולציה ולהווכח בכך שהתשובה נכונה. יש כאן אחד ב-JS.)

[nigun]

@yossiz
כל החשבונות האלו הם שילוב של הסבירות בשלב א (1/3)
אבל בשלב ב (אחרי שהסוהר פתח את הדלת) הסבירות היא 1/2.
ואם יבוא לכאן אסיר נוסף, לא יהיה לו עדיפות על "דלת 2" יותר מאשר "דלת 1".

[גאון]

@yossiz
במטותא מכבודו אבל אני חושב שזה ממש לא שאלה לוגית כי א"כ אין שום סיבה לשנות את הבחירה [ואם כבר זה כמעט אנטילוגי] זה יותר פילוסופיה על בסיסי מתמטי מסויים אבל במציאות גם בסימולציה זה רק ימחיש את מה שק"ק להבין בציור אבל עדיין זה ישאר לא נכון, [ואתה יכול לנסות את זה על משהו בפועל עם אנשים חיים (אולי עם כמה ילדים בבית) ולבדוק את זה הלכה למעשה {ולא רק מול הבחירה שלהם אלא גם מול עצמך וק"ל}].

[yossiz]

@nigun דרך אחר לחשוב על הנושא הוא לנסח את זה כך:
הסוהר גרם למצב שאם אך נניח שהדלת הנכונה נמצא בקבוצה של {דלת 2, דלת 3} אז אנחנו יודעים בוודאות איזה משתיהם הנכונה. אם כן אפשר לתמצת את השאלה של האסיר לזה:
מה היא מדת הסבירות שהדלת הנכונה נמצא בקבוצה של {דלת 2, דלת 3} לעומת הסבירות שהדלת הנכונה היא דלת 1.

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל בשלב ב (אחרי שהסוהר פתח את הדלת) הסבירות היא 1/2.

לא נכון כמו שהסברנו בארוכה.

ואם יבוא לכאן אסיר נוסף, לא יהיה לו עדיפות על "דלת 2" יותר מאשר "דלת 1".

לא נכון. אין שום הבדל מי עושה את הבחירה (כמובן אחרי שנודיע לו על ההיסטוריה).

[yossiz]

@גאון לא הבנתי את טענתך. האם אתה טוען שאין הגיון לבחור במשהו שיותר סביר סטטיסטי? (אם כן זו באמת שאלה פילוסופית ואין לי ענין ליכנס לנושא)

@גאון אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

[ואתה יכול לנסות את זה על משהו בפועל עם אנשים חיים (אולי עם כמה ילדים בבית) ולבדוק את זה הלכה למעשה {ולא רק מול הבחירה שלהם אלא גם מול עצמך וק"ל}].

לא הבנתי, מה לדעתך תהיה התוצאה?

[גאון]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

@גאון לא הבנתי את טענתך. האם אתה טוען שאין הגיון לבחור במשהו שיותר סביר סטטיסטי? (אם כן זו באמת שאלה פילוסופית ואין לי ענין ליכנס לנושא)

אם זה סטטיסטי אמיי אז כן אבל כאן זה לא הסתברות אמיתית אלא רק בגלל שכשמראש בחרתי היה לי 33.3% ועכשיו יש לי על השני 50% אבל זה נכון רק בתאוריה כי תכל'ס גם על מה שבחרתי יש לי עכשיו 50%,
[לפי מש"כ לעיל שבכל מקרה הסוהר היה פותח את הדלת- ולא ממש הבנתי מש"כ אח"ז שלא בכל מקרה וכו']

[nigun]

@yossiz אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):
מה היא מדת הסבירות שהדלת הנכונה נמצא בקבוצה של {דלת 2, דלת 3} לעומת הסבירות שהדלת הנכונה היא דלת 1.

אם זאת השאלה, אכן ההסתברות היא 2/3 (גם אם המנחה לא פותח את הדלת)
אבל השאלה כרגע היא לא באיזה קבוצה זה נמצא
אלא איזו דלת היא הנכונה.
זאת אומרת שגם אלף דלתות והמנחה היה פותח 998 דלתות הסיכוי היה 998/1000
אבל בשלב הנוכחי זה לא רלוונטי.

[yossiz]

@nigun אמר בחידה מתמטית לשמחת החג ולחדד את מוחות הילדים (והמבוגרים):

אבל השאלה כרגע היא לא באיזה קבוצה זה נמצא
אלא איזו דלת היא הנכונה.

נכון ולא נכון. אם נדע באיזה קבוצה נמצא הדלת נדע גם בוודאות איזה מהדלתות היא הנכונה.

[yossiz]

@גאון עדיין לא הבנתי אותך.
מה לדעתך יקרה עם תשחק את המשחק עם הילדים 100 פעמים ובכל פעם תתעקש לשמור על בחירתך המקורית. בכמה מתוך המאה תצא לחופשי?
ואם בכל פעם תשנה את בחירתך, בכמה מתוך המאה תצא לחופשי?

@nigun מה יקרה לדעתך?