חידה חביבה: כיצד להעריך בקירוב את הקבוע π באמצעות מספרים אקראיים

[רחמים]

@odeddvir אני אמיץ ולא מסתכל בגוגל... אבל לא הבנתי את השאלה. מספרים אקראיים הם אקראיים וקבוע פאי הוא קבוע, מה הקשר בינהם? מה הכוונה להעריך?

[yossiz]

@רחמים נו, זו בדיוק החידה.
זכור לי שראיתי בעבר איזכור על זה שאפשר להעריך PI בדרך זו, אבל אין לי מושג איך...

[OdedDvir]

@רחמים אמר:

מה הכוונה להעריך?

לתת הערכה של הקבוע π עם דיוק מספק, למשל את 4 הספרות אחרי הנקודה העשרונית.

[רחמים]

@odeddvir תחלק את ההיקף ברוחב ותקבל דיוק עם כמה מספרים שאתה רוצה לא רק 4. מה קשור כאן מספרים אקראיים?

[OdedDvir]

@רחמים העניין כאן הוא שאין לי כנתון לא קוטר של מעגל קיים ולא היקף שלו.

[רחמים]

@odeddvir
לא קשור לתיכנות אבל זה הרעיון...

טכניקה לא שגרתית לחישובו היא "שיטת מונטה קרלו": על לוח עץ נצייר ריבוע שאורך צלעו שתי יחידות. נצייר מעגל חסום בריבוע זה (זהו מעגל שרדיוסו שווה ליחידה אחת), ונתחיל להטיל חיצים אל הריבוע (לא נכוון את החץ למרכז הריבוע, אלא אל הריבוע כולו, באופן אקראי). לאחר מספר רב של הטלות, היחס, בין מספר הפעמים שהחצים פגעו בתוך המעגל למספר הפעמים שבהם פגעו בתוך הריבוע, שואף ליחס שבין שטחי שתי הצורות.

[yossiz]

@רחמים כאשר מדובר על תוכנה ולא על לוח עץ פיזי, עדיין חסר פה שלב. איך נחשבן איזה מהמספרים האקראיים נמצא בתוך העיגול ואיזה מחוצה לו?
(כנראה צריך קצת טריגונומטריה... מתמטיקה הוא לא מהצדדים החזקים שלי...
אולי משהו כזה, נגיד שנדמיין ריבוע של מאה פיקסלים על מאה פיקסלים. סה"כ 10000 פיקסלים. נקח מספר אקראי בין 0-1 ונכפיל אותו ב-10000 כדי לקבל מיקום בריבוע. עכשיו נחשבן אם המיקום בתוך העיגול או מחוצה לה. וזאת על ידי שנחשב את המרחק שלו מהנקודה האמצעית של העיגול. נגיד שקיבלנו את המספר 3455. נחלק ב-100 כדי לקבל את השורה שבו הוא נמצא ונקח את השארית כדי לקבל את העמודה. יוצא שהוא בשורה 34 עמודה 55. המרכז של הריבוע נמצא בין שורה 50 לשורה 51 בגובה ובין עמודה 50 ל-51 ברוחב. בחישוב קל נמצא שהמיקום שקיבלנו גבוה מהרכז ב16 פיקסלים ומשוך לצד ימין ב-5 פיקסלים. כדי לקבל את המרחק מהמרכז נשרטט בדמיוננו משולש שהצד השוכב שלו הוא ברוחב 5 וצד העומד בגובה 16 ונשתמש בחשבון פיתאגרוס כדי לקבל את האלכסון שיוצא משהו כמו 16.76. טוב, מספר נמוך מ-50 אומר שהמיקום בתוך העיגול. ככל שנמשיך על זו הדרך ונחשבן את היחס של המספרים שבתוך העיגול למספרים שמחוצה לו נגיע יותר קרוב למספר PI)

[yossiz]

עכשיו נהפוך את הנ"ל לקוד...
טוב, מיד אני תופס שאפשר לקבל יותר דיוק על ידי שנשמיט את שלב הפיקסול. יופי!

[OdedDvir]

@רחמים זה אכן הכיוון. (שמא נתפתית לגגל?...)
@yossiz
א. אתה ממש קרוב לפתרון.
ב. לא צריך טריגונומטריה.
ג. נסה לפשט עוד יותר את הדרך שלך.

[yossiz]

@odeddvir אסור להעלות נושאים כאלו בפורום בדיוק כאשר תכננתי ללכת לישון...
טוב, לא נורא, אם אקום בבוקר עם תשובה ואראה שמישהו אחר הקדים אותי זה לא סוף העולם, נכון?

[רחמים]

@yossiz אמר בחידה חביבה: כיצד להעריך בקירוב את הקבוע π באמצעות מספרים אקראיים:

כנראה צריך קצת טריגונומטריה

כל פונקציה מתמטית שתגלה לך אם אתה בתוך העיגול - מבוססת על הפאי, ואיך אתה יכול להשתמש בפונקציה זו כאשר אתה בא לברר מהו הפאי, אתה עדיין לא יודע מהו הפאי!

[yossiz]

@רחמים הדגמתי בדיקה אם אני בתוך העיגול מבלי להשתמש ב-PI

[רחמים]

@yossiz אז למה לך להגריל מספרים אקראיים, פשוט תעבור על כל הפיקסלים ותספור כמה מהם בתוך העיגול וכמה בחוץ וככה תדע את הפאי - לפי היחס שבינהם?

[yossiz]

@רחמים אתה צודק. אני מקווה שהפתרון הסופי מאפשר להגיע לדיוק אינסופי - דבר שאי אפשר אם אתה ממיר את הריבוע לפיקסלים.

[OdedDvir]

@רחמים זו דרך לא רעה, אבל הדיוק שלה מוגבל לרזולוציה של הריבוע. המספרים האקראיים הם כדי לשפר את הדרך הזו.

[OdedDvir]

@yossiz אמר

אני מקווה שהפתרון הסופי מאפשר להגיע לדיוק אינסופי

תיאורטית - כן (אם גם הזמן שלרשותך הוא אינסופי, כמובן )

[רחמים]

@odeddvir המספרים האקראיים למעשה מצביעים על פיקסלים, כך שגם הם בסופו של דבר תלויים ברזולוציה.
אגב, רזולוציה גבוהה היא לא בעיה כלל. קח ריבוע של 2 מליון על 2 מליון פיקסלים, ועיגול ברדיוס של 1 מליון, ויצא לך פאי עם 6 ספרות אחרי הנקודה.

[OdedDvir]

@רחמים השיטה שהבאת תעבוד, והדיוק המתקבל ממנה אכן תלוי ישירות ברוחב הריבוע (אם כי אני לא בטוח שהדיוק של 6 ספרות אחר הנקודה, זהה לסדר הגודל של הריבוע (מיליון ~ 6 ספרות בערך...)
החיסרון שלה לעומת הפתרון שאליו אני חותר, הוא סדר הגודל של החישובים הנדרשים (מליון*מליון=טריליון ).

[רחמים]

@odeddvir למה אתה צריך את זה כל כך מהר? הרי פאי זה משהו שבודקים פעם אחת ומאז משתמשים, אפילו אם החישוב יקח דקה או שעה מה מפריע, הוא חד פעמי.

[OdedDvir]

@רחמים הנקודה העיקרית כאן היא לא איך לחשב את π, לזה יש אלגוריתמים יעילים פי אלף (על ידי טור מתכנס לדוגמא, אפשר להגיע לדיוק של 10 ספרות אחרי הנקודה בסיכום של כמה איברים בודדים, עיין כאן למשל)
הרעיון מאחורי החידה היא איך לשער את π בצורה יחסית יעילה (ובעיקר אלגנטית), בהתחשב בהגבלות של החידה.